Raisonnement par l'absurde

Soit une propriété (P) dont on désire montrer qu'elle est vraie. Le raisonnement par l'absurde consiste à supposer que cette propriété est fausse et à en déduire une contradiction.

Nous allons par exemple démontrer par l'absurde qu'il n'existe aucun nombre rationnel dont le carré soit égal à 2. Pour ce faire, supposons qu'il en existe un (ie on suppose la propriété vraie) et écrivons $\sqrt 2=\frac pq$ où $p$ et $q$ sont des entiers premiers entre eux. Alors, en élevant au carré, on a $p^2=2q^2$. Ainsi, $p^2$ est un entier pair. Mais si $p$ était impair, il s'écrirait $p=2k+1$ et son carré $p^2=(2k+1)^2=4k^2+4k+1=2(2k^2+2k)+1$ serait aussi impair. Ceci entraîne que $p$ est pair, donc $p=2k$ avec $k\in\mathbb Z$. Alors, $p^2=2q^2\implies q^2=2k^2$. Ceci prouve que $q^2$ est pair, donc, par le même raisonnement que ci-dessus, que $q$ est pair.

On obtient une contradiction, puisqu'on a prouvé que $p$ et $q$ sont tous les deux pairs alors que l'on avait supposé que $p$ et $q$ sont premiers entre eux! C'est donc que l'hypothèse formulée au départ est fausse : il n'existe aucun nombre rationnel dont le carré est égal à $2$.