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Dictionnaire de mathématiques > Probabilité et statistiques > Probabilités > Variables aléatoires >

Variable aléatoire absolument continue

Définition : On dit qu'une variable aléatoire $X$ est absolument continue s'il existe une fonction $f$, positive et intégrable, telle que, pour tout intervalle $I$ de $\mathbb R$, on ait : $$P_X(I)=P(X\in I)=\int_I f(t)dt.$$ On dit alors que $f$ est la densité de probabilité de $X,$ ou encore que $X$ est une variable aléatoire absolument continue ou encore une variable aléatoire à densité.

Les variables aléatoires absolument continues s'opposent aux variables aléatoires discrètes par le fait qu'elles prennent un nombre infini non dénombrable de valeurs. En outre, pour tout $x\in\mathbb R$, si $X$ est absolument continue, on a $P(X=x)=0$.

Déterminer la loi d'une variable aléatoire $X$ revient donc à déterminer sa densité $f$. Celle-ci est aussi liée à la fonction de répartition $F$ de $X$. On prouve en effet qu'en tout point où $f$ est continue, $F$ est dérivable et $F'(x)=f(x)$.

Ex : Le déplacement d'une puce dans un disque.

Une puce se déplace aléatoirement à l'intérieur d'un disque de centre $O$ et de rayon $R$. On note $X$ la distance de la puce au centre. Si on suppose que toutes les positions sont équiprobables, alors on a : $$F(x)=P(X\leq x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1&\textrm{ si }x\geq R\\ \frac{\pi x^2}{\pi R^2}&\textrm{ si }0<x< R\\ 0&\textrm{ si }x\leq 0. \end{array}\right.$$

En dérivant $F$, on vérifie que $X$ est une variable absolument continue, dont la densité est donnée par : $$f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{2x}{R^2}&\textrm{ si }0<x<R\\ 0&\textrm{ sinon.} \end{array}\right.$$

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