Séries et intégrales absolument convergentes

Une série de terme général $(a_n)$ converge absolument si la série de terme général $(|a_n|)$ converge. Toute série absolument convergente est convergente. La réciproque est fausse. Par exemple, la série de terme général $\frac{(-1)^n}n$ converge, alors que la série de ses valeurs absolues $\frac 1n$ diverge. On utilise souvent qu'une série est absolument convergente pour prouver sa convergence, car on obtient alors une série à termes positifs, dont il est plus facile de déterminer le comportement par des équivalents ou des règles comme celle de D'Alembert.

Une intégrale impropre $\int_a^b f(t)dt$ est absolument convergente si l'intégrale $\int_a^b |f(t)|dt$ est convergente. Comme pour les séries, l'absolue convergence d'une intégrale impropre entraîne sa convergence, la réciproque étant fausse! (considérer par exemple $\int_1^{+\infty}\frac{\sin t}t dt.$)