Théorème d'Abel
Soit $S(z)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n z^n$ une série entière de rayon de convergence $R>0$. Son comportement à l'intérieur du disque de convergence est très bon : on a convergence uniforme sur tous les compacts, la fonction est de classe $\mathcal C^\infty$. En revanche, sur le bord de ce disque, le cercle de centre $0$ et de rayon $R$, des choses très différentes peuvent se produire : par exemple :
- la série peut converger partout, comme $\sum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n^2}$;
- la série peut converger partout sauf en un point, comme $\sum_{n\geq 1}\frac{z^n}{n}$;
- la série peut diverger partout, comme $\sum_{n\geq 1}z^n$.
Plus étonnant, même si la série converge en un point $z_0$ du bord, la fonction $S$ n'est pas forcément continue en $z_0$...sauf si on limite l'angle d'approche!
On peut même démontrer que la série converge uniformément sur $[0,R]$.
Ce théorème a la signification suivante : si $(z_n)$ converge vers $z_0$ en restant dans un cône (non-tangentiellement), alors $(S(z_n))$ converge vers $S(z_0)$. En revanche, il est tout à fait possible que si $(z_n)$ tend vers $z_0$ sans rester dans un de ces cônes (on parle de convergence tangentielle), alors $(S(z_n))$ ne converge pas vers $S(z_0)$.
Comme on peut s'en douter, la preuve du théorème d'Abel
est basée sur....une transformation d'Abel!