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Dictionnaire de mathématiques > Analyse > Séries numériques >

Sommabilité au sens d'Abel

Définition : Une série $\sum_n a_n$ est sommable au sens d'Abel si, lorsqu'on définit la série entière $$f(x)=\sum_{n=0}^{+\infty}a_n x^n$$ alors cette série converge pour $x$ dans $[0,1[$, et si $f(x)$ admet une limite finie $L$ quand $x$ tend vers $1$.

Prenons par exemple $a_n=(-1)^n$. La série $\sum_{n\geq 1}a_n$ n'est pas convergente. En revanche, pour $x$ dans $[0,1[$, on a

et ceci tend vers 1/2 si $x$ tend vers 1. Ainsi, nous obtenons une série divergente, mais sommable au sens d'Abel.

En revanche, toute série convergente est aussi sommable au sens d'Abel, et les limites sont identiques : c'est le théorème d'Abel pour les séries entières.

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