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Dictionnaire de mathématiques > Algèbre > Groupes > Théorie de Galois >

Extension abélienne, extension cyclique

Une extension abélienne est une extension galoisienne dont le groupe de Galois est abélien. Lorsque ce groupe est cyclique, l'extension est dite cyclique.

Proposition : Soit $k$ un corps fini de cardinal $q$ et $K$ une extension de degré fini $n$ de $k.$ Alors $K$ est une extension cyclique de $k.$ Le groupe $\textrm{Gal}(K/k)$ est d'ordre $n$ et est engendré par l'automorphisme $x\mapsto x^q$ de $K.$
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