Abélianisé d'un groupe

Si $G$ est un groupe, on appelle abélianisé de $G$ le quotient $G/D(G)$ de $G$ par son groupe dérivé. On le note $Ab(G).$

Pour tout groupe $G,$ $Ab(G)$ est un groupe abélien. C'est même le plus grand quotient abélien de $G$ au sens suivant : Si $H$ est un sous-groupe normal de $G,$ le groupe quotient $G/H$ est abélien si et seulement si $H$ contient $D(G).$ Ceci se reformule en disant que tout morphisme de $G$ vers un groupe abélien se factorise à travers $Ab(G).$