$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Indicateur d'Euler - Bibm@th.net

Enoncé
Pour $n\geq 1$ un entier, on définit l'\emph{indicateur d'Euler} de $n$ par : $$\phi(n)=\textrm{card}\{1\leq k\leq n;\ k\textrm{ est premier avec }n\}.$$
  1. Calculer $\phi(p)$ lorsque $p$ est un nombre premier.
  2. Calculer $\phi(p^\alpha)$, où $p$ est premier et $\alpha\geq 1$.
  3. Que signifie $\phi(n)$ pour l'anneau $\mathbb Z/n\mathbb Z$?
  4. En déduire que si $n\wedge m=1$, alors $\phi(nm)=\phi(n)\phi(m)$.
  5. Déduire des questions précédentes une formule pour calculer $\phi(n)$ pour tout entier $n$.
    1. Soit $d$ un diviseur de $n$. On pose $$A_d=\left\{1\leq k\leq n;\ k\wedge n=d\right\}.$$ Quel est le cardinal de $A_d$?
    2. En déduire que $n=\sum_{d|n}\phi(d).$
Indication
Corrigé