Enoncé Soit $X$ et $Y$ deux variables aléatoires indépendantes suivant des lois de Poisson de paramètre respectif $\lambda$ et $\mu$. Démontrer, à l'aide des fonctions génératrices, que $Z=X+Y$, suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.
Indication Faire le produit de Cauchy des deux séries.
Corrigé Notons $\sum_{n\geq 0}a_n t^n$, $\sum_{n\geq 0}b_n t^n$ et $\sum_{n\geq 0}c_n t^n$ les fonctions génératrices respectives de $X$, $Y$ et $Z$. On a donc
$$a_n=\frac{e^{-\lambda}\lambda^n}{n!}\textrm{ et }b_n=\frac{e^{-\mu}\mu^n}{n!}.$$
La série génératrice de $Z$ est obtenue en effectuant le produit de Cauchy de ces deux séries. On a donc
\begin{eqnarray*}
c_n&=&\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}\\
&=&e^{-(\lambda+\mu)}\sum_{k=0}^n \frac{\lambda^k \mu^{n-k}}{k! (n-k)!}\\
&=&\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{n!}\sum_{k=0}^n \binom nk \lambda^k \mu^{n-k}\\
&=&\frac{e^{-(\lambda+\mu)}(\lambda+\mu)^n}{n!}.
\end{eqnarray*}
On reconnait bien la fonction génératrice d'une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$. Comme la fonction génératrice caractérise la loi d'une variable aléatoire, $Z$ suit bien une loi de Poisson de paramètre $\lambda+\mu$.