\'Etude - Bibm@th.net
Enoncé
Pour $x\in \mathbb R$, on pose $u_n(x)=\frac{1}{n+n^2x}$.
- Étudier la convergence simple de la série $\sum_{n\geq 1} u_n(x)$. On note $S(x)$ sa somme.
- Démontrer que $S$ est définie et continue sur $\mathbb R_+^*$.
- Étudier la monotonie de $S$ sur $\mathbb R_+^*$.
- Déterminer la limite de $S$ en $+\infty$.
- Justifier que $S$ admet une limite en $0$. Démontrer que, pour tout entier $N$, on a $$\lim_{x\to 0}S(x)\geq\sum_{n=1}^N \frac{1}{n}.$$ En déduire la valeur de $\lim_{x\to 0}S(x)$.