Exemples et contre-exemples - Bibm@th.net
Enoncé
Pour $x\geq 0$, on pose $u_n(x)=\frac{x}{n^2+x^2}.$
- Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge simplement sur $\mathbb R_+$.
- Montrer que la série $\sum_{n=1}^{+\infty}u_n$ converge uniformémement sur tout intervalle $[0,A]$, avec $A>0$.
- Vérifier que, pour tout $n\in\mathbb N^*$, $\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{n}{n^2+k^2}\geq\frac 15$.
- En déduire que la série $\sum_{n\geq 1}u_n$ ne converge pas uniformément sur $\mathbb R_+$.