Corrigé Un sens est assez facile. En effet, si $B$ est compact, alors $S$ est une partie fermée (pourquoi?) de l'ensemble compact $B$. C'est donc également un compact.
Réciproquement, si $S$ est compact, prouvons que $B$ est compact. Pour cela, considérons $(x_n)$ une suite d'éléments de $B$. Si $(x_n)$ admet une sous-suite qui converge vers 0, alors il n'y a rien à prouver. Sinon, pour tout $n$ assez grand, $x_n\neq 0$ et on peut donc considérer $y_n=\frac{x_n}{\|x_n\|}$. Alors $(y_n)$ est une suite de $S$ et comme $S$ est compact, $(y_{n})$ admet une sous-suite $(y_{\phi(n)})$ qui converge vers $y\in S$. De plus, la suite $(\|x_{\phi(n)}\|)$ est une suite du segment $[0,1]$ qui est compact. Elle admet donc une suite extraite $(\|x_{\psi(n)}\|)$ qui converge vers le réel $a\in [0,1]$. Mais alors,
$x_{\psi(n)}=\|x_{\psi(n)}\|\times y_{\psi(n)}$ converge vers $ay$ qui est bien un élement de $B$. Ainsi, $B$ est compact.