Enoncé 
Soit $E=\mtr[X]$ l'espace vectoriel des polynômes. On définit sur $E$ trois normes par, si $P=\sum_{i=0}^p a_iX^i$ :
$$N_1(P)=\sum_{i=0}^p |a_i|,\ N_2(P)=\left(\sum_{i=0}^p |a_i|^2\right)^{1/2},\ N_\infty(P)=\max_i |a_i|.$$
Vérifier qu'il s'agit de 3 normes sur $\mtr[X]$. Sont-elles équivalentes deux à deux?
Indication 
Pour démontrer que des inégalités sont impossibles, utiliser la suite de polynômes $P_n(X)=1+X+\dots+X^n$.
Corrigé 
La démonstration qu'il s'agit de normes suit en tout point celle classique concernant les mêmes normes sur $\mtr^n$.
Supposons que $N_1(P)\leq C N_\infty(P)$. Prenons $P_n=1+X+\dots+X^n$. Alors $N_1(P_n)=n+1\leq C$, ce qui est impossible pour $n$ grand.
Si $N_2(P)\leq C N_\infty(P)$, pour le même polynôme $P_n$, on a $N_2(P_n)=\sqrt{n+1}\leq C$, ce qui est toujours impossible.
Enfin, la même suite de polynômes, et le même raisonnement, prouve qu'une inégalité $N_1(P_n)\leq CN_2(P_n)$ est tout aussi
impossible. Remarquons que la preuve que ces trois normes ne sont pas équivalentes repose sur le fait que $\mathbb R[X]$ est de dimension infinie.