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Bibm@th

Un anneau d'entiers - Bibm@th.net

Enoncé
On considère $\mathbb Z[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Z\}$.
  1. Montrer que $(\mathbb Z[\sqrt 2],+,\times)$ est un anneau.
  2. On note $N(a+b\sqrt{2})=a^2-2b^2$. Montrer que, pour tous $x,y$ de $\mathbb Z[\sqrt 2]$, on a $N(xy)=N(x)N(y)$.
  3. En déduire que les éléments inversibles de $\mathbb Z[\sqrt 2]$ sont ceux s'écrivant $a+b\sqrt 2$ avec $a^2-2b^2=\pm 1$.
Indication
Corrigé