Enoncé Soit $\displaystyle A=\left\{\frac mn;\ m\in\mathbb Z,\ n\in 2\mathbb N+1\right\}$ (c'est-à-dire que $A$ est l'ensemble des rationnels à dénominateur impair). Démontrer que $(A,+,\times)$ est un anneau. Quels sont ses éléments inversibles?
Indication Démontrer que c'est un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$. Pour déterminer les éléments inversibles, partir de $x=\frac mn\in A$ qu'on suppose inversible, écrire que $xy=1$ pour un certain $y\in A$, et en déduire une condition nécessaire sur $m$. Démontrer ensuite que cette condition est suffisante.
Corrigé On va démontrer que $A$ est un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$. Pour cela, soient $x=\frac mn$ et $y=\frac{m'}{n'}\in A$. Alors :
$$x-y=\frac{mn'-m'n}{nn'}\textrm{ et }xy=\frac{mm'}{nn'}.$$
Comme $nn'$, produit de deux nombres impairs, est impair, et que $A$ est non vide puisqu'il contient $1$, on en déduit que $A$ est bien un sous-anneau de $(\mathbb Q,+,\times)$.
Déterminons ensuite les inversibles de $A$. Soit $x=\frac mn\in A$ inversible, et soit $y=\frac{m'}{n'}\in A$ tel que $xy=1$. On en déduit que $mm'=nn'$. En particulier, $m$ est nécessairement impair. Réciproquement, si $x=\frac{m}n$ avec $m$ impair, alors $y=\frac nm$ est dans $A$ (si jamais $m<0$, il suffit d'écrire $y=\frac{-n}{-m}$ pour vérifier qu'il est bien dans $A$), et $xy=1$. Ainsi, les inversibles de $A$ sont les éléments $\frac mn$ avec $m\in\mathbb Z$, $n\in\mathbb N^*$, et $m,n$ impairs.