Quelques sous-groupes usuels - Bibm@th.net
Enoncé
Soit $(G,\cdot)$ un groupe. Démontrer que les parties suivantes sont des sous-groupes de $G$ :
- $C(G)=\{x\in G;\ \forall y\in G, xy=yx\}$ ($C(G)$ s'appelle le centre de $G$);
- $aHa^{-1}=\{aha^{-1};\ h\in H\}$ où $a\in G$ et $H$ est un sous-groupe de $G$.
- On suppose de plus que $G$ est commutatif. On dit que $x$ est un élément de torsion de $G$ s'il existe $n\in\mathbb N^*$ tel que $x^n=e$. Démontrer que l'ensemble des éléments de torsion de $G$ est un sous-groupe de $G$.