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Développement asymptotique de la série harmonique - Bibm@th.net

Exercice 1 - Développement asymptotique de la série harmonique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On pose $H_n=1+\frac12+\dots+\frac1n$.
  1. Prouver que $H_n\sim_{+\infty}\ln n$.
  2. On pose $u_n=H_n-\ln n$, et $v_n=u_{n+1}-u_n$. Étudier la nature de la série $\sum_n v_n$. En déduire que la suite $(u_n)$ est convergente. On notera $\gamma$ sa limite.
  3. Soit $R_n=\sum_{k=n}^{+\infty} \frac{1}{k^2}$. Donner un équivalent de $R_n$.
  4. Soit $w_n$ tel que $H_n=\ln n+\gamma+w_n$, et soit $t_n=w_{n+1}-w_n$. Donner un équivalent du reste $\sum_{k\geq n}t_k$. En déduire que $H_n=\ln n+\gamma+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right)$.
Indication
Corrigé