Corrigé On vérifie que les colonnes de $A$ forment une base orthonormée. Ainsi, $f$ est un endomorphisme orthogonal. De plus, $\det(A)=1$. $f$ est donc une rotation. Cherchons son axe en cherchant ses points fixes. L'équation $AX=X$ donne que l'axe est la droite $\textrm{vect}(1,1,1)$. Posons $u=(1,1,1)$. Pour déterminer l'angle de cette rotation, que l'on note $\theta$, on remarque qu'en écrivant la matrice de $f$ sous forme réduite, on a $\textrm{Tr}(A)=1+2\cos\theta$. Or, $\textrm{Tr}(A)=2$, et donc $\cos(\theta)=\frac 12$, soit $\theta=\pm \frac{\pi}3$ modulo $2\pi$.
Pour conclure quant au signe de $\theta$, on peut remarquer que, posant $v=(1,-1,0)$, qui est orthogonal à $u$, alors la base $(u,v,f(v))$ est directe, ce qui signifie que $\theta\in ]0,\pi[$ modulo $2\pi$. On en déduit donc que $f$ est la rotation d'axe dirigé par $(1,1,1)$ et d'angle $\pi/3$.