Corrigé 
La matrice $A$ est symétrique réelle, elle est donc diagonalisable. Le calcul du polynôme caractéristique nous dit que $-3$ est valeur propre simple, et que $3$ est valeur propre double. Cherchons d'abord le sous-espace propre associé à $3$. La résolution de l'équation $AX=3X$ montre que l'espace propre associé est le plan vectoriel $x+y+z=0$. Une base de cet espace est donnée par le vecteurs $(1,-1,0)$ et $(1,0,-1)$. L'orthonormalisation de cette base donne la base orthonormalisée $(1/\sqrt 2,-1/\sqrt 2,0)$, $(1/\sqrt 6,1/\sqrt 6,-2/\sqrt 6)$.
Pour l'espace propre associé à -3, il y a possibilité d'aller plus vite. Comme on a affaire à une matrice symétrique, les espaces propres sont orthogonaux. Ici, l'espace propre associé à -3 ne peut-être que l'orthogonal du plan $x+y+z=0$. Un vecteur normal à ce plan étant le vecteur $(1,1,1)$, une base orthonormée de l'espace propre associée à -3 est le vecteur $(1/\sqrt 3,1/\sqrt 3,1/\sqrt 3)$.
Finalement, on trouve qu'une matrice $P$ qui convient est :
$$P=\left(
\begin{array}{ccc}
1/\sqrt 3&1/\sqrt 2&1/\sqrt 6\\
1/\sqrt 3&-1/\sqrt 2&1/\sqrt 6\\
1/\sqrt 3&0&-2/\sqrt 6\\
\end{array}\right).$$
Bibm@th
