$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices sur les ensembles de nombres - Pour comprendre

Nombres entiers
Exercice 1 - Somme de trois entiers consécutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que la somme de 3 entiers consécutifs est un multiple de $3$.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Produit de deux nombres impairs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que le produit de deux nombres impairs est un nombre impair.
Indication
Corrigé
Nombres décimaux
Exercice 3 - Somme et produit de deux nombres décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que le produit de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
  2. Démontrer que la somme de deux nombres décimaux est un nombre décimal.
  3. Est-ce que l'inverse d'un nombre décimal est un nombre décimal?
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Fractions qui sont des nombres décimaux [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. On considère la fraction irréductible $\frac{41}{40}$.
    1. Décomposer le dénominateur en facteurs premiers. Qu'obtient-on en le multipliant par $5^2$?
    2. Déterminer alors l'entier $a$ tel que $\frac{41}{40}=\frac{a}{10^3}$. Que peut-on dire du nombre $\frac{41}{40}$?
  2. On considère la fraction irréductible $\frac{17}{1250}$.
    1. Décomposer le dénominateur en produit de facteurs premiers. Qu'obtient-t-on en le multipliant par $2^3$?
    2. En déduire que $\frac{17}{1250}$ est un nombre décimal.
  3. De la même façon, démontrer que $\frac{13}{80}$ est un nombre décimal.
  4. Généralisation : On considère une fraction irréductible $\frac{k}{2^m\times 5^p}$, où $k$ est un entier, $m,p$ sont des entiers naturels. En distinguant les cas $m\geq p$ et $m<p$, démontrer que $x$ est un nombre décimal.
Indication
Corrigé
Nombres rationnels
Exercice 5 - Expressions un peu compliquées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer les expressions suivantes et donner le résultat sous forme d'une fraction irréductible : \begin{align*} \displaystyle A=2+\frac{8}{9+\frac{5}{19}}&\displaystyle\quad\quad B=1+\frac{\frac 18+\frac 34-\frac 1{12}}{\frac 56+\frac 13+2}\\ \displaystyle C=\frac{\frac{5}{12}}{\frac 73\times\frac 8{15}-\frac 56} \end{align*}
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Nombre rationnel entier.... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $n$ un entier naturel. Vérifier que $$\frac{3n-6}{n+2}=3-\frac{12}{n+2}.$$ Pour quelles valeurs de $n$ le nombre $\frac{3n-6}{n+2}$ est-il un nombre entier?
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer que $7\sqrt 2$ et $\sqrt 2+4$ sont des nombres irrationnels.
Indication
Corrigé
Pour compléter...