$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Exercices sur les ensembles de nombres - Pour approfondir

Nombres entiers
Enoncé
Quels sont les nombres entiers composés de 3 chiffres dont le produit vaut 120 et la somme 16.
Indication
Corrigé
Exercice 2 - Produit de nombres qui ne sont pas divisibles par 3 [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Le but de l'exercice est de démontrer que le produit de deux nombres entiers qui ne sont pas divisibles par 3 n'est pas divisible par 3.
  1. Soit $n$ un entier. Quels sont les restes possibles dans la division euclidienne de $n$ par $3$?
  2. En déduire que si $n$ n'est pas divisible par 3, alors $n$ s'écrit $3k+1$ ou $3k+2$, avec $k$ un entier. La réciproque est-elle vraie?
  3. Soit $n$ un entier s'écrivant $3k+1$ et $m$ un entier s'écrivant $3l+1$. Vérifier que $$n\times m=3(3kl+k+l)+1.$$ En déduire que $n\times m$ n'est pas divisible par $3$.
  4. Démontrer la propriété annoncée par l'exercice.
Indication
Corrigé
Exercice 3 - Somme d'entiers consécutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Montrer que la somme de 5 entiers consécutifs est un multiple de 5.
  2. Est-ce que la somme de 4 entiers consécutifs est un multiple de 4?
  3. Montrer que si $n=2k+1$, avec $k$ entier, et si $a$ est un entier, alors les nombres $a-k,\dots,a-1,a,a+1,\dots,a+k$ sont $n$ entiers consécutifs.
  4. Montrer que la somme de $n$ entiers consécutifs, avec $n$ impair, est un multiple de $n$.
  5. Montrer que la somme de $n$ entiers consécutifs, avec $n$ pair, est un multiple de $n/2$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Combien y-a-t-il de nombres premiers dont la somme des chiffres est divisible par 18?
Indication
Corrigé
Nombres décimaux - nombres rationnels
Exercice 5 - Somme d'un rationnel et d'un irrationnel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in\mathbb Q$ et $y\notin\mathbb Q$. Démontrer que $x+y\notin \mathbb Q$.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $q$ un entier naturel strictement positif. Comparer $\frac{q}{q-1}$ et $\frac{q+1}q$.
Indication
Corrigé
Pour compléter...