$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Cours seconde : Racines, puissances, identités remarquables, équations

Racines carrées
Définition : Soit $a$ un nombre réel positif. La racine carrée de $a$ est l'unique nombre réel positif dont le carré est égal à $a$. On le note $\sqrt a$.
Exemple : $\sqrt 0=0$, $\sqrt 1=1$, $\sqrt 9=3$.
Propriétés de la racine carrée : Soient $a$ et $b$ deux nombres réels positifs.
  • $\sqrt{ab}=\sqrt a \times \sqrt b$
  • Si $b\neq 0$, $\sqrt{\dfrac{a}{b}}=\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}$
  • Si $a$ et $b$ sont strictement positifs, alors $\sqrt{a+b}<\sqrt a +\sqrt b$.
La racine carrée en géométrie :
  • la diagonale d'un carré de côté $a$ a pour longueur $a\sqrt 2$.
  • la hauteur d'un triangle équilatéral de côté $a$ a pour longeur $\frac{a\sqrt 3}2$.
Puissances
Définition : Soit $a$ un nombre réel positif et $n$ un entier strictement positif. On note $$a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots\times a}_{n\textrm{ facteurs}}.$$ Si $a\neq 0$, on note $$a^{-n}=\frac{1}{a^n}=\frac{1}{a\times a\times\cdots\times a}.$$ Enfin, on convient que pour $a$ non nul, $a^0=1$
Exemple : $10^3=1000$, $2^{-2}=\frac 14$.
Propriétés des puissances: Soient $a$ et $b$ deux nombres réels non nuls, $m$ et $n$ deux entiers relatifs. Alors
  • $a^m\times a^n=a^{m+n}$
  • $\displaystyle\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$
  • $(a^m)^n=a^{m\times n}$
  • $a^m\times b^m =(ab)^m$
  • $\displaystyle\frac{a^m}{b^m}=\left(\frac ab\right)^m$.
Définition : On appelle écriture scientifique d'un nombre décimal positif $x$ son écriture sous la forme $a\times 10^n$ où $n$ est un nombre entier relatif et $a$ est un nombre décimal tel que $1\leq a< 10$.
Identités remarquables - Calcul littéral
Définition :
  • Développer un produit signifie écrire un produit sous la forme d'une somme.
  • Factoriser une somme signifie écrire cette somme sous la forme d'un produit.
Pour développer et factoriser, on s'appuie sur les formules de distributivité et double distributivité. $$k(a+b)=ka+kb.$$ $$(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd.$$ Exemples :
  • $(x+1)(x-2)$ est un produit qui se développe en $x^2-2x+x-2$ que l'on réduit ensuite en $x^2-x-2$.
  • $x^2-3x$ est une somme que l'on factorise en remarquant que $x$ est un facteur commun : $$x^2-3x=x\times \color{red}{x}-3\times \color{red}{x}=(x-3)\times \color{red}{x}.$$
Identités remarquables :
  • $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$.
  • $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$.
  • $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.
Équations
Équations produit et équations quotient :
  • un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
  • un quotient est nul si et seulement si le numérateur est nul et le quotient est bien défini.
  • produit en croix : si $b\neq 0$ et $d\neq 0$, alors $\frac ab=\frac cd$ si et seulement si $ad=bc$.

Par exemple, si on veut résoudre l'équation $(2x+1)(x-3)=0$, on sait qu'elle est équivalente à $2x+1=0$ ou $x-3=0$. Or, $2x+1=0$ a pour solution $x=-1/2$ et $x-3=0$ a pour solution $x=3$. Les solutions de l'équation $(2x+1)(x-3)=0$ sont donc $-1/2$ et $3$.

Équations avec des carrés : L'équation $x^2=a$
  • n'admet pas de solutions si $a<0$;
  • admet $0$ pour unique solution si $a=0$;
  • admet $-\sqrt a$ et $\sqrt a$ pour solutions si $a>0$.
Équations avec des racines carrés : L'équation $\sqrt x=a$
  • n'admet pas de solutions si $a<0$;
  • admet $a^2$ pour unique solution si $a\geq 0$.
Pour compléter...
Calculs algébriques : racines, puissances, identités remarquables, équations