Préparer la math sup : nombres complexes

On peut faire un raisonnement algébrique, en posant $z=x+iy$ et en calculant effectivement les deux modules. Voici un raisonnement plus géométrique. Soit $A$ le point d'affixe $i$, $B$ le point d'affixe $-i$, et $M$ le point d'affixe $z$. Alors $|z-i|$ est la longueur $AM$, $|z+i|$ est la longueur $BM$, et la condition recherchée est $AM=BM$, c'est-à-dire $M$ est sur la médiatrice de $[AB]$, soit encore $M$ sur l'axe réel, soit $z$ réel.

La méthode la plus facile, ici, consiste à calculer d'abord la forme trigonométrique qui se comporte bien mieux vis à vis des puissances, puis à revenir à la forme algébrique.

1. On écrit $$2+2i=2\sqrt 2e^{i\pi/4}$$ d'où $$z_1=2^9 e^{3i\pi/2}=-512i.$$
2. On commence par passer par la forme trigonométrique : $$\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}=\frac{2\left(\frac12+i\frac{\sqrt 3}2\right)}{\sqrt 2\left(\frac{\sqrt 2}2-i\frac{\sqrt 2}{2}\right)}=\sqrt 2\frac{e^{i\pi/3}}{e^{-i\pi/4}}=\sqrt2e^{i7\pi/12}.$$ On en déduit que $$z_2=\left(\frac{1+i\sqrt 3}{1-i}\right)^{20}=(\sqrt 2)^{20}e^{i\frac{140\pi}{12}}=2^{10}e^{i\frac{35\pi}3}.$$ Puisque $35\pi=3\times5\times 2\pi+5\pi$, on en déduit que $$z_2=2^{10}e^{i\frac{5\pi}3}=2^9(1-i\sqrt 3)=512-i512\sqrt 3.$$
3. Avec la même méthode, on a $$(1+i)^{2000}=2^{1000}e^{i500\pi}=2^{1000}.$$ De même, $$(i-\sqrt 3)^{1000}=2^{1000}e^{i5000\pi/6}.$$ Or, $$2500=833\times 3+1$$ d'où $$(i-\sqrt 3)^{1000}=2^{1000}e^{i4\pi/3}.$$ Il vient finalement : $$z_3=e^{-i4\pi/3}=e^{i2\pi/3}=-\frac 12+\frac{\sqrt 3}2i.$$

On commence par écrire $1+i\sqrt 3$ sous forme exponentielle : $$1+i\sqrt 3=2e^{i\pi/3}.$$ En prenant la puissance $n$-ième, on trouve $$(1+i\sqrt 3)^n=2^n e^{in\pi/3}.$$ Ceci est un réel positif si et seulement si $\sin(n\pi/3)=0$ et $\cos(n\pi/3)\geq 0$. Or, $\sin(n\pi/3)=0$ si et seulement si $n=3k$, $k\in\mathbb Z$. Mais, pour ces valeurs de $n$, on a $\cos(n\pi/3)=\cos(k\pi)$, et ceci est positif si et seulement si $k$ est pair. Ainsi, les entiers qui conviennent sont les multiples de 6.

La méthode est toujours la même. On pose $z=a+ib$, de sorte que $z^2=(a^2-b^2)+2iab$. L'équation $z^2=3+4i$ est donc équivalente à $$\left\{\begin{array}{rcl}a^2-b^2&=&3\\ 2ab=4\end{array}\right.$$ On peut ajouter une troisième équation en remarquant que $$|z|^2=|3+4i|\iff a^2+b^2=\sqrt{9+16}=5.$$ On trouve alors $2a^2=8$, soit $a=\pm 2$ et $2b^2=2$, soit $b=\pm 1$. L'équation $2ab=4$ oblige $a$ et $b$ à avoir même signe, et donc les deux solutions sont $2+i$ et $-2-i$.
Pour l'équation $z^2=8-6i$, on peut suivre une méthode exactement identique, et les solutions sont cette fois $3-i$ et $-3+i$.