$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : matrices

Calculer la puissance d'une matrice
  Pour calculer $A^n$, on peut
  • calculer les premières puissances, conjecturer le résultat puis le démontrer par récurrence (voir cet exercice);
  • écrire $A$ sous la forme $A=N+M$, où $N$ et $M$ sont deux matrices qui commutent et dont les puissances sont simples à calculer, puis appliquer la formule du binôme (voir cet exercice);
  • trouver un polynôme $P$ tel que $P(A)=0$, puis effectuer la division euclidienne de $X^n$ par $P$ : si $X^n=P(X)Q(X)+R(X)$, alors $A^n=R(A)$ (voir cet exercice);
  • étudier l'application linéaire canoniquement associée à $A$ (voir cet exercice).
Inverser une matrice
  Pour prouver qu'une matrice $A$ est inversible et éventuellement déterminer son inverse, on peut :
  • utiliser la méthode du pivot de Gauss : une suite d'opérations élémentaires sur les lignes qui transforme $A$ en $I_n$ transforme $I_n$ en $A^{-1}$ (voir cet exercice);
  • trouver un polynôme $P$ avec un terme constant non nul tel que $P(A)=0$. On peut alors écrire $$a_nA^n+a_{n_1}A^{n-1}+\dots+a_1A=I_n\iff A(a_nA^{n-1}+a_{n-1}A^{n-2}+\dots+a_1I_n)=I_n$$ qui donne immédiatement l'inverse (voir cet exercice);
  • interpréter $A$ comme la matrice d'une application linéaire et prouver que cette application linéaire est inversible (par exemple, en calculant son noyau) (voir cet exercice ou celui-ci).
Écrire la matrice d'une application linéaire
  Pour écrire la matrice de $u\in \mathcal L(E,F)$ dans les bases $\mathcal B$ de $E$ et $\mathcal C$ de $F$, on peut :
  • écrire en colonne les coordonnées des images des vecteurs de $\mathcal B$ par $u$ dans la base $\mathcal C$ (voir cet exercice);
  • si on connait la matrice de $u$ dans d'autres bases, appliquer la formule du changement de base (voir cet exercice).
Pour les exercices liés au rang
  • le calcul du rang se fait le plus souvent avec la méthode du pivot de Gauss (voir cet exercice ou celui-ci).
  • pour les exercices théoriques liés au rang, on peut souvent utiliser le fait qu'une matrice de rang $r$ est équivalente à la matrice $J_r$ (voir cet exercice).
Divers
  Pour des exercices théoriques sur la structure de $\mathcal M_{n,p}(\mathbb K)$ ou de parties de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, l'usage des matrices élémentaires $E_{i,j}$ est souvent utile.
Calculer le déterminant d'une matrice
  Pour calculer le déterminant d'une matrice, on peut
  • effectuer des opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes pour se ramener à une matrice triangulaire supérieure (voir cet exercice).
  • développer suivant une ligne ou une colonne (après éventuellement avoir effectué des opérations élémentaires) dans l'espoir d'obtenir une formule de récurrence (voir cet exercice).
Calculer le déterminant d'un endomorphisme
  Pour calculer le déterminant d'un endomorphisme, on cherche une base dans laquelle la matrice de l'endomorphisme est la plus simple possible, et on calcule le déterminant de cette matrice (voir cet exercice).