Méthodes : limites et continuité
Démontrer qu'une fonction $f$ n'admet pas de limite en $a$
- on peut démontrer que les limites à gauche et à droite sont différentes (voir cet exercice).
- on peut trouver une suite $(u_n)$ qui tend vers $a$ tel que $(f(u_n))$ ne converge pas vers $f(a)$.
Démontrer qu'on ne peut pas prolonger par continuité $f$ en $a$
- on peut trouver deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ qui tendent vers $a$ telles que $(f(u_n))$ et $(f(v_n))$ admettent des limites différentes (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction $f$ réalise une bijection de $I$ sur $J$
Pour démontrer que $f$ réalise une bijection de $]a,b[$ sur $]c,d[$, on peut successivement
- vérifier que $f$ est continue
- vérifier que $f$ est strictement croissante ou strictement décroissante
- étudier les limites aux bornes de $f$, par exemple prouver que $\lim_{x\to a}f(x)=c$ et $\lim_{x\to b}f(x)=d$.
Démontrer l'existence d'une solution à l'équation $f(x)=a$
- on peut vérifier que $f$ est continue, trouver $x_1$ et $x_2$ tels que $f(x_1)<a$ et $f(x_2)>a$. Le théorème des valeurs intermédiaires implique alors qu'il existe $x_0\in [x_1,x_2]$ tel que $f(x_0)=a$.
- si de plus $f$ est strictement monotone, alors la solution est unique.