$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : espaces vectoriels de dimension finie

Démontrer qu'une famille est une base
  Pour démontrer qu'une famille $(v_1,\dots,v_n)$ est une base de $E$, on peut
  • prouver qu'elle est libre et génératrice (voir cet exercice);
  • prouver qu'elle est libre et, si on connait la dimension de $E$, remarquer qu'elle possède le même nombre de vecteurs que la dimension de $E$ (voir cet exercice).
Compléter une famille libre en une base

Pour compléter une famille libre $(v_1,\dots,v_p)$ d'un espace vectoriel $E$, on utilise le théorème de la base incomplète : si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, on sait qu'on peut compléter $(v_1,\dots,v_p)$ avec $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$ pour obtenir une base de $E$. On choisit donc $n-p$ vecteurs de $(e_1,\dots,e_n)$, par exemple $(e_1,\dots,e_{n-p})$ et on regarde si la famille $(v_1,\dots,v_p,e_1,\dots,e_{n-p})$ est libre. Si c'est le cas, on a terminé. Sinon, on recommence en choisissant $n-p$ autres vecteurs. Certains choix peuvent ne pas fonctionner mais on est sûr qu'au moins un choix conduira à une base (voir cet exercice).

Trouver une base d'un sous-espace vectoriel
  Pour trouver une base d'un sous-espace vectoriel $F$, on peut :
  • chercher une famille génératrice $\mathcal B$ de $F$;
  • si $\mathcal B$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre
(voir cet exercice).

Trouver une base de l'intersection de deux sous-espaces vectoriels
Trouver une base de $F+G$
  Pour démontrer que $E=F+G$, on peut :
  • trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$, une base $\mathcal B_2$ de $G$;
  • $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est une famille génératrice de $F+G$;
  • si $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
(voir cet exercice ou celui-là).

Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont supplémentaires
  Pour démontrer que $E=F\oplus G$, on peut :
  • trouver la dimension de $F$, la dimension de $G$, vérifier que $F\cap G=\{0\}$ puis que $\dim(F)+\dim(G)=\dim(E)$
  • trouver une base de de $F$, une base de $G$, et vérifier que la réunion des deux est une base de $E$ (voir cet exercice).
Démontrer que deux sous-espaces vectoriels sont égaux

Pour démontrer que les deux sous-espaces vectoriels $F$ et $G$ sont égaux, on peut :

  • démontrer que $F\subset G$ et que $\dim F=\dim G$ (voir cet exercice).
  • si $F=\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ et $G=\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$, démontrer que chaque $u_i$ est élément de $\textrm{vect}(v_1,\dots,v_q)$ (autrement dit, chaque $u_i$ s'écrit comme combinaison linéaire de $(v_1,\dots,v_q)$) puis que chaque $v_j$ est élément de $\textrm{vect}(u_1,\dots,u_p)$ (voir cet exercice).
Trouver un supplémentaire d'un sous-espace vectoriel
  Pour trouver un supplémentaire de $F$ dans $E$, on peut
  • trouver une base $\mathcal B_1$ de $F$.
  • compléter, à l'aide d'une base de $E$, $\mathcal B_1$ en une base $\mathcal B_1\cup\mathcal B_2$ de $E$.
  • l'espace vectoriel engendré par $\mathcal B_2$ est alors un supplémentaire de $F$ dans $E$.
(voir cet exercice).

Trouver une base de l'image d'une application linéaire
  Pour trouver une base de l'image de $u$, où $u\in\mathcal L(E,F)$, on peut
  • remarquer que si $(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, alors $(u(e_1),\dots,u(e_n))$ est une famille génératrice de $\textrm{Im}(u)$.
  • si la famille est libre, c'est terminé, sinon, un des vecteurs peut s'exprimer en fonction des autres. On le supprime et on recommence jusqu'à trouver une famille libre.
Construire des endomorphismes vérifiant des propriétés particulières
  Pour construire des applications linéaires vérifiant des propriétés particulières, on peut
  • définir l'application linéaire à l'aide de l'image d'une base;
  • définir l'application linéaire en utilisant une décomposition en somme directe $E=F\oplus G$. Il suffit alors de définir l'application linéaire séparément sur $F$ et sur $G$;
(voir cet exercice ou celui-là).