Méthodes : nombres complexes
- pour mettre sous forme trigonométrique un complexe $z=a+ib$, on met en facteur le module $\sqrt{a^2+b^2}$, puis on cherche un angle $\theta$ tel que
$$\left\{
\begin{array}{rcl}
\cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\
\sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}.
\end{array}
\right.
$$
Pour trouver $\theta$, on peut s'aider du cercle trigonométrique (voir cet exercice).
- pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié : $$re^{i\alpha}+re^{i\beta}=re^{i\frac{\alpha+\beta}2}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}2}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}\right)=2r\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}2}.$$ Attention! $\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)$ n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de $\pi$.
Pour calculer la puissance d'un nombre complexe, on l'écrit sous forme trigonométrique (voir cet exercice).
Si $w=x+iy$, on cherche les solutions de $z^2=w$ avec $z=u+iv$ en écrivant que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \Re e(z^2)&=&\Re e(w)\\ \Im m(z^2)&=&\Im m(w)\\ |z|^2&=&|w| \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} u^2-v^2&=&x\\ 2uv&=&y\\ u^2+v^2&=&\sqrt{x^2+y^2} \end{array} \right. $$ La première et la dernière équation donnent $u$ et $v$ au signe près, la seconde donne le signe du produit $uv$, donc les deux racines souhaitées (voir cet exercice).
Pour calculer la racine $n$-ième d'un nombre complexe, on met ce nombre complexe sous forme trigonométrique et on cherche les solutions sous forme trigonométrique également (voir cet exercice).
On écrit $w$ sous forme trigonométrique $w=re^{i\theta}$ et $z$ sous forme algébrique, $z=a+ib$. L'équation devient $$e^ae^{ib}=re^{i\theta}\iff a=\ln r\textrm{ et }b=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb Z$$ (voir cet exercice).
- linéariser $\sin^n t$ et $\cos^n t$ : on applique la formule d'Euler définissant $\sin t$ ou $\cos t$, on développe par la formule du binôme de Newton, puis on regroupe les termes d'angles opposés en utilisant à nouveau la formule d'Euler (voir cet exercice).
- exprimer $\sin(nt)$ et $\cos(nt)$ en un polynôme en $\sin t$ et $\cos t$ : on utilise la formule de Moivre, on remplace $e^{int}$ par $(\cos t+i\sin t)^n$, puis on développe (voir cet exercice).
- factoriser des sommes de sinus et de cosinus : on écrit le plus souvent que $\cos(nt)=\Re e(e^{int})=\Re e((e^{it})^n)$, puis on reconnait une somme géométrique.
- transformer $a\cos t+b\sin t$ en $A\cos(t-\theta)$ : on met $\sqrt{a^2+b^2}$ en facteur, et on cherche $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{array} \right. $$ On applique ensuite la formule de trigonométrie $$\cos(t-\theta)=\cos t\cos\theta+\sin t\sin\theta.$$
- Chercher les éléments caractéristiques de la transformation $z\mapsto az+b$ : si $a\neq 1$, il s'agit d'une similitude de rapport $|a|$, d'angle un argument de $a$, et de centre le point d'affixe l'unique solution de $z=az+b$ (voir cet exercice).