$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : nombres complexes

Mise sous forme trigonométrique d'un complexe
  • pour mettre sous forme trigonométrique un complexe $z=a+ib$, on met en facteur le module $\sqrt{a^2+b^2}$, puis on cherche un angle $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{array} \right. $$
  • pour mettre sous forme trigonométrique la somme de deux nombres complexes de même module, on factorise par l'angle moitié : $$re^{i\alpha}+re^{i\beta}=re^{i\frac{\alpha+\beta}2}\left(e^{i\frac{\alpha-\beta}2}+e^{-i\frac{\alpha-\beta}2}\right)=2r\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)e^{i\frac{\alpha+\beta}2}.$$ Attention! $\cos\left(\frac{\alpha-\beta}2\right)$ n'est pas nécessairement positif, on n'a pas toujours automatiquement la forme trigonométrique. Dans le cas où ce réel est négatif, il faut faire un décalage d'angle de $\pi$.
Calcul de la puissance d'un nombre complexe
  Pour calculer la puissance d'un nombre complexe, on l'écrit sous forme trigonométrique.
Racine carrée d'un nombre complexe
  Si $w=x+iy$, on cherche les solutions de $z^2=w$ avec $z=u+iv$ en écrivant que : $$\left\{ \begin{array}{rcl} \Re e(z^2)&=&\Re e(w)\\ \Im m(z^2)&=&\Im m(w)\\ |z|^2&=&|w| \end{array} \right. \iff \left\{ \begin{array}{rcl} u^2-v^2&=&x\\ 2uv&=&y\\ u^2+v^2&=&\sqrt{x^2+y^2} \end{array} \right. $$ La première et la dernière équation donnent $u$ et $v$ au signe près, la seconde donne le signe du produit $uv$, donc les deux racines souhaitées.
Racine $n$-ième d'un nombre complexe
  Pour calculer la racine $n$-ième d'un nombre complexe, on met ce nombre complexe sous forme trigonométrique et on cherche les solutions sous forme trigonométrique également.
Résolution de l'équation $e^z=w$.
  On écrit $w$ sous forme trigonométrique $w=re^{i\theta}$ et $z$ sous forme algébrique, $z=a+ib$. L'équation devient $$e^ae^{ib}=re^{i\theta}\iff a=\ln r\textrm{ et }b=\theta+2k\pi,\ k\in\mathbb Z.$$
Trigonométrie
  • linéariser $\sin^n t$ et $\cos^n t$ : on applique la formule d'Euler définissant $\sin t$ ou $\cos t$, on développe par la formule du binôme de Newton, puis on regroupe les termes d'angles opposés en utilisant à nouveau la formule d'Euler.
  • exprimer $\sin(nt)$ et $\cos(nt)$ en un polynôme en $\sin t$ et $\cos t$ : on utilise la formule de Moivre, on remplace $e^{int}$ par $(\cos t+i\sin t)^n$, puis on développe.
  • factoriser des sommes de sinus et de cosinus : on écrit le plus souvent que $\cos(nt)=\Re e(e^{int})=\Re e((e^{it})^n)$, puis on reconnait une somme géométrique.
  • transformer $a\cos t+b\sin t$ en $A\cos(t-\theta)$ : on met $\sqrt{a^2+b^2}$ en facteur, et on cherche $\theta$ tel que $$\left\{ \begin{array}{rcl} \cos\theta&=&\frac a{\sqrt{a^2+b^2}}\\ \sin\theta&=&\frac b{\sqrt{a^2+b^2}}. \end{array} \right. $$ On applique ensuite la formule de trigonométrie $$\cos(t-\theta)=\cos t\cos\theta+\sin t\sin\theta.$$
Géométrie
  • Chercher les éléments caractéristiques de la transformation $z\mapsto az+b$ : si $a\neq 1$, il s'agit d'une similitude de rapport $|a|$, d'angle un argument de $a$, et de centre le point d'affixe l'unique solution de $z=az+b$.