Calcul de primitives

Notons $f_n$ une telle primitive. Intégrant par parties (en dérivant $\ln^n x$ et en intégrant $1$), on trouve $$f_n=\int \ln^n xdx=x\ln^{n}x-nf_{n-1}.$$ On itère alors les intégrations par parties, pour trouver \begin{eqnarray*} f_n&=&x\ln^{n}x-nx\ln^{n-1}x+n(n-1)f_{n-2}\\ &=&x\ln^{n}x-nx\ln^{n-1}x+n(n-1)x\ln^{n-2}x-n(n-1)(n-2)f_{n-3}\\ &\vdots&\vdots\\ &=&\sum_{k=0}^{n}(-1)^k n(n-1)\dots(n-k+1)x\ln^{n-k}x\\ &=&\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{n!}{(n-k)!}x\ln^{n-k} x. \end{eqnarray*}

On pose, pour $(\alpha,\beta,n,m)\in\mathbb R^2\times\mathbb N^2$, $$I_{m,n}=\int_\alpha^\beta (t-\alpha)^m(t-\beta)^n dt.$$ On intègre par parties pour obtenir une relation entre $I_{m,n}$ et $I_{m-1,n+1}$, et on trouve \begin{eqnarray*} I_{m,n}&=&\left[(t-\alpha)^m\frac{(t-\beta)^{n+1}}{n+1}\right]_\alpha^\beta-\frac m{n+1}\int_{\alpha}^\beta (t-\alpha)^{m-1}(t-\beta)^{n+1}dt\\ &=&-\frac{m}{n+1}I_{m-1,n+1}. \end{eqnarray*} D'autre part, pour tout $p\in\mathbb N$, on a $$I_{0,p}=\int_{\alpha}^\beta (t-\beta)^pdt=-\frac{(\alpha-\beta)^{p+1}}{p+1}.$$ Une récurrence immédiate donne alors $$I_{m,n}=(-1)^{m+1}\frac{m(m-1)\dots 1}{(n+1)(n+2)\dots(n+m)}\frac{(\alpha-\beta)^{m+n+1}}{m+n+1}.$$ En particulier, l'intégrale recherché vaut $I_{n,n}$, c'est-à-dire $$I_{n,n}=(-1)^{n+1}\frac{n!}{(n+1)\dots(2n)}\frac{(\alpha-\beta)^{2n+1}}{2n+1}=(-1)^{n+1}\frac{(\alpha-\beta)^{2n+1}}{(2n+1)\binom{2n}{n}}.$$

La fonction $x\mapsto (a+b-x)$ est une bijection continue strictement décroissante de $[a,b]$ sur lui-même, envoyant $a$ en $b$ et $b$ en $a$. Effectuant le changement de variables $u=a+b-x$, on trouve donc \begin{eqnarray*} \int_a^b xf(x)dx&=&-\int_{b}^a(a+b-u)f(a+b-u)du\\ &=&\int_{a}^b (a+b-u)f(u)du\\ &=&(a+b)\int_a^b f(x)dx-\int_a^b xf(x)dx. \end{eqnarray*} Ceci donne le résultat demandé.
Pour l'application, posons $a=0$, $b=\pi$ et $f(x)=\frac{\sin x}{1+\cos^2 x}$. Alors $f(\pi-x)=f(x)$ et donc, d'après le résultat précédent, on a $$I=\frac{\pi}2\int_0^\pi \frac{\sin x}{1+\cos^2 x}dx.$$ On calcule cette intégrale en effectuant le changement de variables $u=\cos x$. En effet, la fonction $x\mapsto\cos x$ réalise une bijection de l'intervalle $[0,\pi]$ sur l'intervalle $[-1,1]$. De $du=-\sin x dx$, on déduit \begin{eqnarray*} I&=&\frac{\pi}{2}\int_{1}^{-1}\frac{-du}{1+u^2}\\ &=&\frac{\pi}{2}\int_{-1}^1 \frac{du}{1+u^2}\\ &=&\frac{\pi}2\big(\arctan(1)-\arctan(-1)\big)\\ &=&\frac{\pi^2}4. \end{eqnarray*}

Une intégration par parties donne, en posant $u(x)=(x^2+1)^{-n}$ et $v'(x)=1$, $$I_n=\left[\frac{x}{(x^2+1)^n}\right]_0^1 +2n\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}dx=\frac{1}{2^n}+2n\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}dx.$$ Or, $$\int_0^1 \frac{x^2}{(x^2+1)^{n+1}}dx=\int_0^1\frac{x^2+1}{(x^2+1)^{n+1}}dx-\int_0^1 \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}}dx=I_n-I_{n+1}.$$ Regroupant les termes, on trouve $$2nI_{n+1}=(2n-1)I_n+\frac1{2^n}\iff I_{n+1}=\frac{2n-1}{2n}I_n+\frac{1}{n2^{n+1}}.$$ Sachant que $I_1=\frac\pi4$, on trouve $$I_2=\frac{\pi}8+\frac14\textrm{ et }I_3=\frac{3\pi}{32}+\frac14.$$

1. On peut intégrer par parties, ou rechercher une primitive de la même forme, c'est-à-dire une fonction $F:x\mapsto e^x(ax^3+bx^2+cx+d)$. On a alors $$F'(x)=e^x\big(ax^3+(3a+b)x^2+(2b+c)x+(c+d)\big).$$ Par identification, on trouve que $F$ est une primitive de $x\mapsto e^x(2x^3+3x^2-x+1)$ lorsque $a=2$, $3a+b=-3$, $2b+c=5$ et $c+d=1$, soit $a=2$, $b=-3$, $c=5$ et $d=-4$. Les primitives sont donc les fonctions $$x\mapsto e^x(2x^3-3x^2+5x-4)+C.$$ L'intégrale recherchée vaut donc $$F(1)-F(0)=4.$$
2. On commence par linéariser $\sin^2 x$ et on trouve que l'intégrale vaut $$I=\int_0^{2\pi}e^{-x}\left(\frac{1-\cos(2x)}{2}\right)dx=\frac{1-e^{-2\pi}}{2}-\frac12\int_0^{2\pi}e^{-x}\cos(2x)dx.$$ On calcule alors la dernière intégrale en utilisant les complexes. On trouve \begin{eqnarray*} \int_0^{2\pi}e^{-x}\cos(2x)dx&=&\Re e\left(\int_0^{2\pi}e^{(2i-1)x}dx\right)\\ &=&\Re e\left(\left[\frac{1}{2i-1}e^{(2i-1)x}\right]_0^{2\pi}\right)\\ &=&\Re e\left(\frac15(2i+1)(1-e^{-2\pi})\right)\\ &=&\frac{1}5(1-e^{-2\pi}). \end{eqnarray*} Finalement, on trouve $$I=\frac25(1-e^{-2\pi}).$$
3. Notons $I$ l'intégrale. $I$ est égale à $\Re e(J)$ avec $J=\int_0^\pi x^2e^{(1+i)x}dx$ (on a posé $\cos x=\Re e(e^{ix})$). En intégrant par parties, on trouve \begin{eqnarray*} J&=&\left[\frac{x^2e^{(1+i)x}}{1+i}\right]_0^\pi-\frac{2}{1+i}\int_0^\pi xe^{(1+i)x}dx\\ &=&-\frac{\pi^2e^\pi}{1+i}-\frac{2}{1+i}\int_0^\pi xe^{(1+i)x}dx. \end{eqnarray*} On fait une deuxième intégration par parties pour calculer cette dernière intégrale, et on trouve \begin{eqnarray*} \int_0^\pi xe^{(1+i)x}dx&=&\left[\frac{xe^{(1+i)x}}{1+i}\right]_0^\pi-\frac{1}{1+i}\int_0^\pi e^{(1+i)x}dx\\ &=&-\frac{\pi e^{\pi}}{1+i}-\frac{1}{(1+i)^2}\left[e^{(1+i)x}\right]_0^\pi\\ &=&-\frac{\pi e^{\pi}}{1+i}+\frac{i}2(-1-e^{\pi}). \end{eqnarray*} Regroupant tous les termes, et multipliant par la quantité conjuguée au dénominateur, on trouve : $$J=-\pi^2e^\pi\frac{1-i}2-i\pi e^\pi -\frac{1+i}2(-1-e^\pi),$$ soit $$I=\frac12+\frac{1-\pi^2}2e^{\pi}.$$