Exercices Math Sup : Fractions rationnelles
Généralités
Enoncé 

Démontrer qu'il n'existe pas de fraction rationelle $F$ tel que $F^2=X$.
Enoncé 

Soit $F\in\mathbb K(X)$. Montrer que si $\deg(F')<\deg(F)-1$, alors $\deg(F)=0$.
Enoncé 

Soient $p$ et $q$ deux entiers naturels premiers entre eux. Déterminer les racines
et les pôles de $(X^p-1)/(X^q-1)$, en précisant leur ordre de multiplicité.
Enoncé 

Soit $F=P/Q\in\mathbb C(X)$ une fraction rationnelle, avec $P\wedge Q=1$, telle que $F'=1/X$.
- Démontrer que $X|Q$.
- Soit $n\geq 1$ tel que $X^n|Q$. Démontrer que $X^{n}|Q'$.
- Conclure.
Décomposition en éléments simples
Enoncé 

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf{1.}\quad\frac{1}{X^3-X}&\quad\quad\mathbf{2.}\quad \displaystyle\frac{X^2+2X +5}{X^2-3X+2}
&\quad\quad\mathbf{3.}\quad \displaystyle \frac{X^3}{(X-1)(X-2)(X-3)}
\\
\mathbf{4.}\quad \displaystyle\frac{2X^2+1}{(X^2-1)^2}&
\quad\quad\mathbf{5.}\quad\displaystyle\frac{X^3+1}{(X-1)^3}&
\quad\quad\mathbf{6.}\quad\displaystyle\frac{X^4+1}{(X+1)^2(X^2+1)}
\end{array}$$
Enoncé 

Décomposer en éléments simples les fractions rationnelles suivantes :
$$\begin{array}{lll}
\displaystyle\mathbf{1.}\quad \frac{1}{X^n-1}&
\displaystyle\quad\quad\mathbf{2.}\quad\frac{X^{n-1}}{X^n-1}&
\displaystyle\quad\quad\mathbf{3.}\quad\frac{1}{(X-1)(X^n-1)}
\end{array}$$
Applications
Enoncé 

- Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle\frac{1}{X(X+1)(X+2)}$.
- En déduire la limite de la suite $(S_n)$ suivante : $\displaystyle S_n=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k(k+1)(k+2)}$.
Enoncé 

Soit $P\in\mathbb R[X]$ un polynôme de degré $n\geq 1$ possédant $n$ racines distinctes $x_1,\dots,x_n$ non-nulles.
- Décomposer en éléments simples la fraction rationnelle $\displaystyle \frac1{XP(X)}$.
- En déduire que $\displaystyle\sum_{k=1}^n \frac{1}{x_k P'(x_k)}=\frac{-1}{P(0)}$.
Enoncé 

- Décomposer en éléments simples la fraction $\frac{P'}P$, où $P$ est un polynôme de $\mathbb C[X]$.
- En déduire les polynômes $P\in\mathbb C[X]$ tels que $P'|P$.
Enoncé 

Soit $P\in\mathbb C_n[X]$ admettant $n$ racines simples $\alpha_1,\dots,\alpha_n$.
Soient $A_1,\dots,A_n$ les points du plan complexe d'affixe respectives $\alpha_1,\dots,\alpha_n$.
- Décomposer la fraction rationnelle $P'/P$ en éléments simples.
- Soit $\beta$ une racine de $P'$, et soit $B$ son image dans le plan complexe. Déduire de la question précédente que $$\sum_{j=1}^n \frac{1}{\beta-\alpha_j}=0.$$
- En déduire que $B$ est un barycentre de la famille de points $(A_1,\dots,A_n)$, avec des coefficients positifs. Interpréter géométriquement cette propriété.