Exercices Math Sup : Fractions rationnelles

Si $F$ est une fraction rationnelle, alors $\deg(F^2)=2\deg (F)$. Or, $\deg(X)=1$, et l'équation $2n=1$ n'a pas de solutions dans $\mathbb Z$.

On écrit $F=A/B$, avec $\deg(F)=\deg(A)-\deg(B)$. On a $F'=(A'B-AB')/B^2$, et donc $\deg(F')=\deg(A'B-AB')-2\deg(B)$. Or, $\deg(A'B)=\deg(AB')=\deg(A)+\deg(B)-1$. Si $\deg(A'B-AB')=\deg(A)+\deg(B)-1$, on aurait $\deg(F')=\deg(F)-1$, ce qui n'est pas le cas. On a donc $\deg(A'B-AB')<\deg(A'B)=\deg(AB')$. Mais si $A=a_k X^k+\dots$ et $B=b_nX^n+\dots,$ alors $A'B=ka_kb_nX^{k+n-1}+\dots$ et $AB'=na_kb_nX^{k+n-1}+\dots$. Pour que $\deg(A'B-AB')$ soit inférieur strict à $n+k-1$, il est donc nécessaire que $k=n$, c'est-à-dire que $A$ et $B$ aient le même degré. Ceci signifie exactement $\deg(F)=0$.

Les racines de $X^p-1$ (resp. $X^q-1$) sont les racines $p$-ièmes de l'unité (resp. $q$-ièmes) et elles sont toutes simples. Mais il peut y avoir des simplifications entre le numérateur et le dénominateur et on doit déterminer les racines communes. Soit donc $\omega$ une racine de $X^p-1$ et de $X^q-1$. Alors $\omega^p=\omega^q=1$. Mais, puisque $p$ et $q$ sont premiers entre eux, on peut d'après le théorème de Bézout trouver deux entiers $u,v\in\mathbb Z$ tels que $pu+qv=1$. Alors $$\omega=\omega^{pu+qv}=(\omega^p)^u(\omega^q)^v=1.$$ Réciproquement, $1$ est racine commune des deux polynômes. On a donc prouvé que les racines de la fraction rationnelle sont les racines $p$-ièmes de l'unité autre que 1. Ses pôles sont les racines $q$-ièmes de l'unité, autre que 1. Les multiplicités respectives sont à chaque fois égales à 1.

1. Les pôles de $1/(X^n-1)$ sont les racines $n$-ièmes de l'unité, c'est-à-dire les complexes $x_k=e^{2ik\pi/n}$, $k=0,\dots,n-1$. Chaque pôle est simple, la partie polaire correspondante est donc de la forme $\frac{c_k}{X-x_k}$ avec $c_k=\frac{1}{P'(x_k)}=\frac{1}{nx_k^{n-1}}$. Or, $x_k^{n-1}=\frac{x_k^n}{x_k}=\frac1{x_k}=e^{-2ik\pi/n}$. La décomposition en éléments simples recherché vaut donc $$\frac1{X^n-1}=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{e^{2ik\pi/n}}{X-e^{2ik\pi/n}}.$$
2. Les racines de $X^n-1$ sont les complexes $\omega_k=e^{2ik\pi/n}$, $0\leq k\leq n-1$. La fraction rationnelle admet donc $n$ pôles, qui sont tous simples. Sa décomposition en éléments simples a pour forme $$\frac{X^{n-1}}{X^n-1}=\sum_{k=0}^{n-1}\frac{\alpha_k}{X-\omega_k}$$ avec $\alpha_k=\frac{\omega_k^{n-1}}{n\omega_k^{n-1}}=\frac{1}{n}$. La décomposition en éléments simples est $$\frac{X^{n-1}}{X^n-1}=\frac1n\sum_{k=0}^{n-1}\frac{1}{X-e^{2ik\pi/n}}.$$
3. La fraction admet 1 comme pôle double et $\omega_k=e^{2i\pi k/n}$, $k=1,\dots,n-1$ comme pôles simples. On commence par calculer le coefficient devant $(X-1)^2$. On écrit que la fraction est égale à $$\frac{1}{(X-1)^2(1+X+\dots+X^{n-1})}=\frac{\lambda}{(X-1)^2}+Q(X),$$ où $1$ n'est pas pôle double de $Q$. Multipliant par $(X-1)^2$, on en déduit que $\lambda=\frac{1}{n}.$ Le coefficient devant $\frac1{X-\omega_k}$ est lui obtenu en dérivant le dénominateur, et en remplaçant par $\omega_k$. On trouve : $$\frac{1}{\omega_k^n-1+(\omega_k-1)n\omega_k^{n-1}}=\frac{\omega_k}{n(\omega_k-1)}.$$ Enfin, pour calculer le terme en $\frac1{X-1}$, on écrit que $$\frac{1}{(X-1)^2(1+X+\dots+X^{n-1})}-\frac{1/n}{(X-1)^2}=\frac{\mu}{(X-1)}+R(X),$$ où $1$ n'est plus un pôle de $R$. On a alors \begin{eqnarray*} \frac{1}{(X-1)^2(1+X+\dots+X^{n-1})}-\frac{1/n}{(X-1)^2}\\ =\frac{n-(1+X+\dots+X^{n-1})}{n(X-1)^2(1+X+\dots+X^{n-1})}\\ =-\frac{(X-1)+(X^2-1)+\dots+(X^{n-1}-1)}{n(X-1)^2(1+X+\dots+X^{n-1})}\\ =-\frac{1+(1+X)+(1+X+X^2)+\dots+(1+X+\dots+X^{n-2})}{n(X-1)(1+X+\dots+X^{n-1})}. \end{eqnarray*} Multipliant par $X-1$ et faisant $X=1$, on trouve $$\mu=-\frac{1+2+\dots+n-1}{n^2}=\frac{1-n}{2n}.$$ Finalement, la décomposition en éléments simples de la fraction rationnelle est donc : $$\frac{1-n}{2n(X-1)}+\frac{1}{n(X-1)^2}+\sum_{k=1}^{n-1}\frac{\omega_k}{n(\omega_k-1)}\frac{1}{X-\omega_k}.$$