Math Sup : Dérivabilité

On revient à la définition, et on cherche si le taux d'accroissement admet une limite en 0. $$\frac{f(x)-f(0)}{x}=\frac{\frac{x}{1+|x|}}{x}=\frac{1}{1+|x|}\to 1$$ lorsque $x\to 0$. La fonction est donc dérivable en $0$, de dérivée $1$.
Concernant $g$, on a $$\frac{g(x)-g(0)}{x}=\sin(x)\sin(1/x).$$ Utilisant $|\sin x|\leq |x|$ et $|\sin(1/x)|\leq 1$, on en déduit que $$\left|\frac{g(x)-g(0)}{x}\right|\leq |x|.$$ Par le théorème de comparaison, le taux d'accroissement converge vers 0 lorsque $x$ tend vers 0. La fonction $g$ est donc dérivable en 0, avec $g'(0)=0$. Pour $h$, on a $$\frac{h(x)-h(0)}x=|x| \times\frac{\sin x}x.$$ Puisque $\sin x/x$ tend vers 1 quand $x$ tend vers 0 et que $|x|$ tend vers 0 quand $x$ tend vers 0, le taux d'accroissement converge vers $0$ quand $x$ tend vers 0, et donc $h$ est dérivable en $0$, avec $h'(0)=0$.

On remarque d'abord que $f$ est continue en 0, car, pour $x\neq 0$, on a $$|f(x)-f(0)|\leq x^2$$ et $x^2\to 0$ quand $x\to 0$. D'autre part, $f$ est clairement $C^1$ sur $\mathbb R^*$. Etudions la dérivabilité en 0 en revenant à la définition, c'est-à-dire en étudiant si le taux d'accroissement admet une limite. On a : $$\frac{f(x)-f(0)}{x}=x\sin\left(\frac 1x\right)$$ et ceci tend vers 0 quand $x$ tend vers 0, grâce à la majoration $|x\sin\left(\frac 1x\right)|\leq |x|$. Ainsi, $f$ est dérivable en 0, avec $f'(0)=0$. Pour déterminer si $f$ est $C^1$ en 0, il faut étudier si la dérivée est continue en 0. Pour $x\neq 0$, on a $$f'(x)=2x\sin\left(\frac{1}{x}\right)-\cos\left(\frac 1x\right).$$ Or, posons $u_n=\frac{1}{2n\pi}$. Alors, $u_n$ tend vers 0, et $$f'(u_n)=\frac{1}{n\pi}\sin(2n\pi)-\cos(2n\pi)=-1\neq f'(0).$$ Ainsi, $f'$ n'est pas continue en 0, et $f$ n'est pas de classe $C^1$.
Concernant $g$, on peut procéder comme pour $f$ pour démontrer que $g$ est $C^1$ sur $\mathbb R^*$, dérivable en 0 avec $g'(0)=0$. De plus, pour $x\neq 0$, $$g'(x)=3x^2\sin\left(\frac1x\right)-x\cos\left(\frac 1x\right)$$ de sorte que $$|g'(x)-g'(0)|\leq 3|x|^2+|x|.$$ Ceci entraîne que $g'$ est continue en 0, et donc que $g$ est de classe $C^1$.

Il suffit de couper en passant par $f(x_0)$ : $$\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=\frac{1}{2}\left(\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}+\frac{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}\right)\to\frac{f'(x_0)+f'(x_0)}{2}.$$ La réciproque est clairement fausse. Il suffit de prendre $f(x)=|x|$ et $x_0=0$.

La fonction $g$ est clairement dérivable sur $]0,1/2[$ et sur $]1/2,1[$. Le seul problème est en 1/2. Mais, on a $$\lim_{x\to \frac{1}2^+}g(x)=f(1)=f(0)=\lim_{x\to \frac12^-}g(x).$$ La fonction $g$ est donc continue en $1/2$. Pour $x<1/2$, on a $$g'(x)=2f'(2x)\longrightarrow_{x\to \frac 12^-} 2f'(1)$$ et donc, par le théorème de prolongement d'une dérivée, $g$ admet une dérivée à gauche en 1/2 égale à $2f'(1)$. De même, pour $x>1/2$, on a $$g'(x)=2f'(2x-1)\longrightarrow_{x\to \frac 12^+} 2f'(0)$$ et donc, par le théorème de prolongement d'une dérivée, $g$ admet une dérivée à droite en 1/2 égale à $2f'(0)$. La fonction $g$ est dérivable en 1/2 si et seulement si les dérivées à droite et à gauche coïncident, c'est-à-dire si et seulement $f'(1)=f'(0)$.

On écrit $$xf(x_0)-x_0f(x)=xf(x_0)-x_0f(x_0)+x_0f(x_0)-x_0f(x)$$ ce qui donne $$\frac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}=f(x_0)+x_0\frac{f(x_0)-f(x)}{x-x_0}.$$ Par définition de la dérivabilité en $x_0$, ceci tend vers $f(x_0)-x_0f'(x_0)$.

Écrivons l'équation de la tangente à la courbe d'équation $y=x^2$ au point d'abscisse $a$ : il s'agit de $$y-a^2=2a(x-a)\iff y=2ax-a^2.$$ De même, écrivons l'équation de la tangente à la courbe d'équation $y=1/x$ au point d'abscisse $b$ : il s'agit de $$y-\frac 1b=-\frac 1{b^2}(x-b)\iff y=-\frac 1{b^2}x+\frac 2b.$$ Pour que les deux tangentes coincident, il faut que $a$ et $b$ vérifient $$\left\{ \begin{array}{rcl} 2a&=&\frac{-1}{b^2}\\ -a^2&=&\frac 2b. \end{array}\right.$$ On en déduit que $-8a=a^4$, ce qui donne $a=0$ ou $a=-2$. La solution $a=0$ est à exclure, car on ne peut pas déterminer de valeur correspondante pour $b$. Pour $a=-2$, on obtient $b=-1/2$, et on vérifie facilement que les tangentes en $a$ et en $b$ coincident.

Fixons $\veps>0$. On sait qu'il existe $\delta>0$ tel que, pour tout $x\in]-\delta,\delta[$, on a $$|f(x)-f'(0)x|\leq \veps\times |x|.$$ Soit $n$ assez grand pour que $\frac{1}{n}<\delta$. On applique alors la formule précédente à $x=\frac k{n^2}$, pour $k\in\{1,\dots,n\}$. On obtient $$-\veps\frac k{n^2}\leq f\left(\frac k{n^2}\right)-f'(0)\frac{k}{n^2}\leq \veps\frac k{n^2}.$$ On somme ces inégalités pour $k$ allant de $1$ à $n$ et on trouve $$-\veps\frac{n+1}{2n}\leq \sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)-f'(0)\frac{n+1}{2n}\leq \veps\frac{n+1}{2n}.$$ Écrivant $\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}$ et en remarquant que $(n+1)/2n\leq 1$, on trouve $$-\veps+\frac{f'(0)}{2n}\leq \sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)-\frac{f'(0)}2\leq \veps+\frac{f'(0)}{2n}.$$ Pour $n$ assez grand, on en déduit que $$-2\veps\leq \sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)-\frac{f'(0)}2\leq 2\veps.$$ On en conclut que la suite converge avec $$\lim_{n\to+\infty}\sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)=\frac{f'(0)}{2}.$$

Fixons $\veps>0$. Par hypothèse, il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout $y$ de $]-\alpha,\alpha[$, on a $$|f(y)-f(y/2)|\leq\veps|y/2|.$$ Prenons $x$ dans $]-\alpha,\alpha[$. On applique l'inégalité précédente pour $y=x$, $y=x/2,\dots,$ $y=x/2^n$. On obtient successivement : \begin{eqnarray*} |f(x)-f(x/2)|&\leq& \veps |x/2|\\ |f(x/2)-f(x/4)|&\leq& \veps |x/4|\\ \vdots&\vdots&\vdots\\ |f(x/2^n)-f(x/2^{n+1})|&\leq& \veps |x/2^{n+1}|\\ \end{eqnarray*} En utilisant l'inégalité triangulaire, il vient $$|f(x)-f(x/2^{n+1})|\leq \veps |x|\left(\frac12+\frac14+\dots+\frac1{2^{n+1}}\right)\leq \veps|x|.$$ Il suffit alors de faire tendre $n$ vers $+\infty$ et d'utiliser la continuité de $f$ en $0$ pour obtenir $$|f(x)-f(0)|\leq\veps|x|.$$ Autrement dit, $f$ est dérivable en $0$, et $f'(0)=0$.

On va procéder pour les deux questions par récurrence, le principal problème étant de trouver la bonne hypothèse de récurrence.

1. Posons, pour $0\leq k\leq n$, l'hypothèse $\mathcal P_k$: " $f^{(k)}$ s'annule en $n+1-k$ points distincts de $[a,b]$, et même de $]a,b[$ si $k\geq 1$".
   • La propriété est vraie au rang $k=0$, par hypothèse.
   • Supposons la propriété vraie au rang $k<n$ et prouvons la au rang $k+1$. Soient $a\leq a_1<a_2<\dots<a_{n+1-k}\leq b$ des réels tous distincts de sorte que $f^{(k)}(a_i)=0$ pour tout $i$. Appliquons le théorème de Rolle à la fonction $g=f^{(k)}$ sur les intervalles $[a_i,a_{i+1}]$, avec $1\leq i\leq n+k$. On obtient des réels $b_i$, avec $b_i\in ]a_i,a_{i+1}[$ tels que $f^{(k+1)}(b_i)=g'(b_i)=0$. De plus, ces réels sont distincts car $$b_i<a_{i+1}<b_{i+1}$$ et ils sont tous dans l'intervalle $]a,b[$ puisque $a\leq a_1<b_1$ et $b_{n+k}<a_{n+k-1}<b$. $\mathcal P_{k+1}$ est donc vraie.
   Par le principe de récurrence, $\mathcal P_n$ est vraie, et c'est exactement ce que l'on voulait démontrer.
2. On introduit cette fois, pour $0\leq k\leq n$, l'hypothèse de récurrence $\mathcal P_k$ : " $f^{(k)}$ s'annule en $b_k$ avec $a<b_k$ et $b_k<b$ si $k\geq 1$". $\mathcal P_0$ est clairement vérifiée, et si $\mathcal P_k$ est vérifiée pour $0\leq k<n$, alors posons $g=f^{(k)}$. On sait que $g(a)=0$ et que $g(b_k)=0$. Par le théorème de Rolle, il existe $b_{k+1}\in ]a,b_k[\subset ]a,b[$ de sorte que $$f^{k+1}(b_{k+1})=g'(b_k)=0.$$ $\mathcal P_{k+1}$ est donc vérifiée.
   Par le principe de récurrence, $\mathcal P_n$ est vérifiée, et c'est exactement ce que l'on voulait prouver!

On va utiliser l'inégalité des accroissements finis avec une fonction bien choisie :

1. Posons $f(x)=\sqrt x$ sur $[10000,10001]$. Alors $$0\leq f'(x)=\frac{1}{2\sqrt x}\leq \frac{1}{200},$$ et donc $$\sqrt{10001}-100\leq \frac{1}{200}.$$
2. Posons $g(x)=\frac 1{x^2}$ sur $[0,999;1]$. Alors, sur cet intervalle, $$f'(x)=\frac{2}{x^3}\textrm{ soit }|f'(x)|\leq \frac{2}{0,999^3}\leq 3.$$ Ainsi, $$\left|\frac{1}{0,999^2}-1\right|\leq 3\cdot 10^{-3}.$$
3. Posons $h(x)=\cos(x)$, de dérivée $-\sin x$, $|h'(x)|\leq 1$. On a donc $$\left|\cos 1-\frac 12\right|\leq 1-\frac\pi 3\leq 5\cdot 10^{-2}.$$

$f'$ est continue sur $[0,1]$. Elle est donc bornée et atteint ses bornes. Soit $m=\inf_{x\in[0,1]}f'(x)$. Il existe $x_0\in[0,1]$ tel que $m=f'(x_0)$. En particulier $m>0$ puisque $f'(x_0)>0$. Considérons ensuite $x\in ]0,1]$. Par le théorème des accroissement finis appliqués entre $0$ et $x$, il existe $c\in ]0,x[$ tel que $$f(x)-f(0)=f'(c) x.$$ Puisque $f'(c)\geq m$, ceci entraine bien que $f(x)\geq mx.$

Supposons que $l\neq 0$. Sans perte de généralité, on peut supposer $l>0$. Il existe alors un réel $A>0$ tel que, pour tout $x\geq A$, on a $$f'(x)\geq l/2$$ (on applique la définition de la limite avec $\veps=l/2$). Mais alors, pour tout $x\geq A$, d'après le théorème des accroissements finis, on a $$f(x)-f(A)=f'(c)(x-A)\geq\frac{l(x-A)}{2}$$ où $c\in[A,x]$. Faisant tendre $x$ vers $+\infty$, on trouve que $f$ tend vers $+\infty$ également ce qui est une contradiction.

On pose $g(x)=e^x-P(x)$. Si l'équation admet $n$ solutions, c'est que $g$ admet $n$ racines. Par des applications successives du théorème de Rolle, on trouve que $g'$ admet $n-1$ racines, $g''$ en admet $n-2$,..., jusque $g^{(n-1)}$ qui en admet au moins 1. Supposons maintenant que $n-1>\deg(P)$. Alors, $$g^{(n-1)}=e^x-P^{(n-1)}=e^x$$ et on trouve que l'équation $e^x=0$ admet au moins une solution. C'est bien entendu absurde, et on vient de prouver que l'équation $P(x)=e^x$ admet donc au plus $n+1$ solutions, avec $n=\deg(P)$.

On note $n$ le degré de $P$, $x_1<\dots<x_p$ ses racines distinctes, de multiplicités respectives $\alpha_1,\dots,\alpha_p$ avec donc $\alpha_1+\dots+\alpha_p=n$. Chaque $x_i$ est encore racine de $P'+\lambda P$ de multiplicité $\alpha_i-1$. On a donc trouvé $\alpha_1-1+\dots+\alpha_p-1=\alpha_1+\dots+\alpha_p-p$ racines, comptées avec leur multiplicité. Il suffit de trouver donc $p-1$ autres racines. On va en trouver une dans chaque intervalle $]x_i,x_{i+1}[$, avec $i=1,\dots,p-1$. En effet, posons $f(x)=P(x)e^{\lambda x}$. $f$ est continu sur $[x_i,x_{i+1}]$, dérivable sur $]x_i,x_{i+1}[$ et on a $f(x_i)=f(x_{i+1})=0$. Par le théorème de Rolle, il existe $y_i\in]x_i,x_{i+1}[$ tel que $f'(y_i)=0$. Or, $f'(x)=(P'(x)+\lambda P(x))e^{\lambda x}$. Puisque la fonction exponentielle ne s'annule pas, $y_i$ est racine de $P'+\lambda P$.

Pour $\veps=f(c)/2$, il existe $A\geq c$ tel que, pour $x\geq A$, $|f(x)|<\veps$. Ainsi, on a $f(A)<\frac{f(c)}2<f(c)$. Par le théorème des valeurs intermédiaires, on trouver $b\in]c,A[$ tel que $f(b)=f(c)/2$. De même, $\frac{f(c)}{2}\in ]0,f(c)[$. On peut donc trouver $a\in]0,c[$ avec $f(a)=f(c)/2$. On a donc $a<b$, $f(a)=f(b)$. On applique alors le théorème de Rolle entre $a$ et $b$ pour trouver $d\in]a,b[$ tel que $f'(d)=0$.
Il existe d'autres méthodes pour prouver ce résultat. Par exemple, on définit $g$ sur $[0,\pi/2[$ par $g(t)=f(\tan(t))$. Alors $g$ est continue sur $[0,\pi/2[$, dérivable sur $]0,\pi/2[$. De plus, par théorème de composition des limites $\lim_{\pi/2}g=\lim_{+\infty}f$ existe. On peut donc prolonger $g$ par continuité en $\pi/2$ et on a alors $g(\pi/2)=g(0)=f(0)=\lim_{+\infty}f$. On applique alors le théorème de Rolle à $g$ pour trouver $c\in]0,\pi/2[$ tel que $g'(c)=0$. Or, $$g'(x)=(1+\tan^2(x))f'(\tan(x)).$$ Donc, $g'(c)=0\implies f'(\tan(c))=0$.

C'est assez classique, mais difficile la première fois! Remarquons d'abord que le résultat est évident si $a$ est égal à un des $x_i$ : on peut prendre pour $\lambda$ n'importe quelle valeur de $[x_1,x_n]$. Supposons donc que $a\neq x_i$. On pose $A=\frac{f(a)}{(a-x_1)\dots(a-x_n)}$ (c'est le nombre que l'on souhaite calculer), et $\phi$ la fonction définie par $$\phi(x)=f(x)-A(x-x_1)\dots (x-x_n).$$ Alors $\phi$ s'annule en $x_i$, et s'annule aussi en $a$ d'après le choix de $A$. Ainsi, $\phi$ s'annule $n+1$ fois dans l'intervalle $[x_1,x_n]$. En appliquant le théorème de Rolle successivement à $\phi'$ (qui possède donc $n$ zéros dans $]x_1,x_n[$), à $\phi''$ (qui en possède $n-1$), etc..., on trouve qu'il existe $\lambda\in]x_1,x_n[$ tel que $\phi^{(n)}(\lambda)=0$. Mais $\phi^{(n)}(x)=f^{(n)}(x)-n!A$. Ainsi, $A=\frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!}$.

Le résultat est clair pour $n=1$. C'est juste l'application du théorème des accroissements finis entre 0 et 1. Le résultat pour $n$ est à peine plus compliqué si on a la bonne idée. Appliquons le théorème des accroissements finis à $f$ entre $(i-1)/n$ et $i/n$, pour $i=1,\dots,n$. On obtient un point $x_i\in](i-1)/n,i/n[$ tel que $f'(x_i)=\frac{f(i/n)-f((i-1)/n)}{1/n}$. Lorsqu'on calcule la somme $f'(x_1)+\dots+f'(x_n)$, les termes se télescopent deux à deux et on trouve finalement $$f'(x_1)+\dots+f'(x_n)=\frac{f(1)-f(0)}{1/n}=n.$$

L'équation de la tangente au point d'abscisse $x_0$ est $$y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0).$$ Cette tangente passe par le point $(d,0)$ si et seulement si $$f'(x_0)(x_0-d)-f(x_0)=0.$$ On va chercher une fonction dont la dérivée va être presque de la forme précédente, et on va montrer par le théorème de Rolle que la dérivée de cette fonction s'annule. Pour cela, on pose $$g(x)=\frac{f(x)}{x-d}$$ définie et continue sur $[a,b]$, dérivable sur $]a,b[$, de dérivée $$g'(x)=\frac{f'(x)(x-d)-f(x)}{(x-d)^2}.$$ De plus, $g(a)=g(b)=0$. Par le théorème de Rolle, on peut trouver $x_0\in]a,b[$ tel que $g'(x_0)=0$. Pour ce $x_0$, la relation $$f'(x_0)=\frac{f(x_0)}{x_0-d}$$ est donc vérifiée, et la tangente à la courbe représentative de $f$ au point $(x_0,f(x_0))$ passe par $(d,0)$.

On va s'aider du fait que $\sin(k\pi)=0$ et $\sin(2k\pi+\pi/2)=1$ pour tout entier $k$. Bien sûr, si $n$ est un entier, $\ln(n)$ ne sera jamais égal à $k\pi$. Mais l'idée est que le logarithme croit très doucement au voisinage de l'infini. Ainsi, si $x$ est tel que $\ln(x)=k\pi$, et si $n$ est la partie entière de $x$, alors $\ln(n)$ sera presque égal à $\ln(x)$. On peut formaliser cela à l'aide de l'inégalité des accroissements finis.
Etape 1. Une sous-suite converge vers 0 - Soit k un entier supérieur ou égal à 2. Soit $x_k=\exp(k\pi)$ et $n_k$ l'entier directement supérieur ou égal à $x_k$. Remarquons que la suite $(n_k)$ est strictement croissante et que $|n_k-x_k|\leq 1$. On applique ensuite l'inégalité des accroissement finis à la fonction $\ln$. On obtient $$|\ln (x_k)-\ln(n_k)|\leq\frac{|n_k-x_k|}{|x_k|}\leq \exp(-k\pi).$$ On réapplique l'inégalité des accroissements finis avec la fonction sinus. On trouve $$|\sin(\ln(x_k))-\sin(\ln(n_k))|\leq |\ln(x_k)-\ln(n_k)|\leq\exp(-k\pi)$$ On en déduit que $|\sin(\ln(n_k))|\leq\exp(-k\pi)$ et donc que cette sous-suite tend vers 0.
Etape 2 . Une sous-suite converge vers 1 - On reprend exactement le même raisonnement, mais avec $y_k=\exp(2k\pi+\pi/2)$ et $m_k$ l'entier immédiatement supérieur ou égal à $x_k$. Les inégalités se reproduisent avec des changements immédiats, et on trouve que la suite $(\sin(\ln(m_k)))$ tend vers 1.
Ainsi, la suite admet deux sous-suites qui convergent vers des valeurs différentes. Elle est divergente. On pourrait aller plus loin et prouver que, pour tout $\ell\in[-1,1]$, il existe une suite-extraite de $(\sin(\ln n))$ qui converge vers $\ell$.

On va appliquer la formule de Leibniz en écrivant $f(x)=g(x)h(x)$ avec $h(x)=x^3+2x-7$. La situation est assez facile ici car $h'(x)=3x^2+2$, $h''(x)=6x$, $h^{(3)}(x)=6$ et $h^{(k)}(x)=0$ dès que $k\geq 4$. D'autre part, les dérivées successives de la fonction exponentielle sont encore égales à la fonction exponentielle. On en déduit que \begin{eqnarray*} f^{(n)}(x)&=&\sum_{k=0}^3 \binom nk h^{(n-k})(x)e^x\\ &=&\left((x^3+2x+7)+n(3x^2+2)+\frac{n(n-1)}26x+\frac{n(n-1)(n-2)}66\right)e^x\\ &=&\big(x^3+3nx^2+(3n^2-3n+2)+(n^3-3n^2+4n-7)\big)e^x. \end{eqnarray*}

La fonction est de classe $C^\infty$ sur $\mathbb R^*$. Démontrons la formule demandée par récurrence sur $n$. Pour $n=0$, la dérivée de $e^{1/x}$ est bien $\frac{-1}{x^2}e^{1/x}$. Supposons la formule vraie au rang $n-1$, et prouvons-la au rang $n$. Pour cela, on écrit $x^ne^{1/x}$ sous la forme $x\times x^{n-1}e^{1/x}$ et on utilise la formule de Leibniz : $$\left(x^n e^{1/x}\right)^{(n+1)}=x\left((x^{n-1}e^{1/x}\right)^{(n+1)}+(n+1)\left(x^{n-1}e^{1/x}\right)^{(n)}.$$ On introduit alors le résultat de l'hypothèse de récurrence, qui donne directement la valeur du second terme et aussi celle du premier terme après une dernière dérivation : $$x\left((x^{n-1}e^{1/x}\right)^{(n+1)}=x\left(\frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+3}}e^{1/x}+\frac{(-1)^{n+1}(n+1)}{x^{n+2}}e^{1/x}\right).$$ En mettant tous les résultats ensembles, on trouve exactement le résultat demandé.

Une première solution consiste à utiliser la formule de Leibniz et à couper la somme en 4, suivant le nombre de fois où on dérive le cosinus. Il est toutefois plus aisé d'utiliser : $$g(x)=e^{ax}\cos(bx)+ie^{ax}\sin(bx)=e^{(a+ib)x}.$$ On a alors : $$g^{(n)}(x)=(a+ib)^n e^{(a+ib)x}=e^{(a+ib)x}$$ puisque $a+ib$ est une racine n-ième de l'unité. Il suffit alors de remarquer que $f$ est la partie réelle de $g$ pour conclure que : $$f^{(n)}(x)=f(x)=e^{ax}\cos(bx).$$