Math Sup : Dérivabilité
Dérivée en un point - Nombre dérivée
Exercice 1 
- Calculs de limites avec le nombre dérivé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{x\sin x}{1-\cos x}\textrm{ en 0}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\sin x-\sin 2x}{x^2}\textrm{ en 0}\\
\displaystyle \mathbf 3.\ \frac{\sin x}{\sqrt x}\textrm{ en 0}&&
\displaystyle \mathbf 4.\ \frac{\cos^2 x-1}{x}\textrm{ en 0}
\end{array}$$
Enoncé 

Étudier les limites suivantes :
$$\begin{array}{lcl}
\displaystyle \mathbf 1.\ \frac{\tan x-\sin x}{x^3}\textrm{ en 0}&&
\displaystyle \mathbf 2.\ \frac{\tan 4x}{\sin x}\textrm{ en }0\\
\displaystyle {\mathbf 3}.\ \frac{\sin x-\sin(5x)}{\sin x+\sin (5x)}\textrm{ en }0&&
\displaystyle {\mathbf 4}.\ \frac{\sin(x\ln x)}{x}\textrm{ en }0\\
\displaystyle \mathbf {\mathbf 5}.\ \left(1+\frac1x\right)^x\textrm{ en }+\infty&&
\displaystyle \mathbf {\mathbf 6}.\ \frac{x(x-1)\sin(x-1)}{x^3-3x+2}\textrm{ en }1\\
\displaystyle \mathbf {\mathbf 7}.\ {\ln x\ln(1-x)}\textrm{ en }0^+.
\end{array}$$
Enoncé 

Les fonctions suivantes sont-elles dérivables en 0?
$$f(x)=\frac{x}{1+|x|},\ \ \ g(x)=
\left\{\begin{array}{ll}
x\sin(x)\sin(1/x)&\textrm{ si }x\neq 0\\
0&\textrm{ si }x=0.
\end{array}\right.,\quad\quad h(x)=|x|\sin x.$$
Enoncé 

Étudier si les fonctions suivantes sont dérivables et $C^1$ sur $\mathbb R$ :
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^2\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\
0&x=0
\end{array}\right.\quad\quad\quad
g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
x^3\sin\left(\frac 1x\right)&x\neq 0\\
0&x=0.
\end{array}\right.
$$
Enoncé 

Soit $f$ une fonction dérivable en un point $x_0$. Montrer que
$$\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}=f'(x_0).$$
Réciproquement, si la limite précédente existe, peut-on dire que $f$ est dérivable en $x_0$?
Enoncé 

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ dérivable vérifiant $f(0)=f(1)$ avec $f'$ continue en $0$ et en $1$. On définit $g$ sur $[0,1]$ par
$$g(x)=\left\{\begin{array}{ll}
f(2x)&\textrm{ si }0\leq x\leq\frac12\\
f(2x-1)&\textrm{ si }\frac12<x\leq 1.
\end{array}\right.$$
$g$ est-elle continue? dérivable? Si non, quelle(s) hypothèse(s) faut-il ajouter pour que ce soit le cas?
Enoncé 

Soit $f$ une fonction dérivable en $x_0\in\mathbb R$. Montrer que
$$\frac{xf(x_0)-x_0f(x)}{x-x_0}$$
admet une limite lorsque $x\to x_0$.
Enoncé 

Démontrer que les courbes d'équation $y=x^2$ et $y=1/x$ admettent une unique tangente commune.
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable telle que $f(0)=0$. Montrer que
$\sum_{k=1}^n f\left(\frac k{n^2}\right)$ admet une limite lorsque $n\to+\infty$ et la déterminer.
Enoncé 

Soit $f$ définie sur un intervalle ouvert $I$ contenant $0$, continue sur $I$.
On suppose en outre que $\lim_{x\to 0}\frac{f(2x)-f(x)}{x}=0$. Montrer que $f$ est dérivable en 0.
Théorème de Rolle - théorème des accroissements finis
Enoncé 

- Démontrer que pour tout $x>0$, on a $$\frac1{x+1}<\ln(x+1)-\ln x<\frac 1x.$$
- On pose $$v_n=\frac 1{n+1}+\dots+\frac 1{2n}.$$ Démontrer que $$\ln(2n+1)-\ln(n+1)<v_n<\ln(2n)-\ln n.$$ En déduire que $(v_n)$ converge et déterminer sa limite.
Enoncé 

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ $n$ fois dérivable.
- On suppose que $f$ s'annule en $(n+1)$ points distincts de $[a,b]$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
- On suppose que $f(a)=f'(a)=\dots=f^{(n-1)}(a)=f(b)=0$. Démontrer qu'il existe $c\in ]a,b[$ tel que $f^{(n)}(c)=0$.
Enoncé 

Majorer l'erreur commise dans les approximations suivantes :
$$\mathbf a.\sqrt{10001}\simeq 100;\ \mathbf b. \frac{1}{0,999^2}\simeq 1;\ \mathbf c.\cos 1\simeq\frac12.$$
Enoncé 

Soit $f$ une fonction définie et de classe $C^1$ sur $[0,1]$.
On suppose que $f(0)=0$ et que $f'(x)>0$ pour tout $x\in[0,1]$.
Montrer qu'il existe $m>0$ tel que $f(x)\geq mx$ pour tout $x\in [0,1]$.
Exercice 15 
- Fonction bornée dont la dérivée admet une limite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction bornée et dérivable telle que $\lim_{+\infty}f'=l$.
Montrer que $l=0$.
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ dérivable et $a\in\mathbb R$ tel que $f'(a)\neq 0$.
- Montrer qu'il existe un intervalle $I$ centré en $a$ tel que $f(x)\neq f(a)$ pour tout $x\in I\backslash\{a\}$.
- On suppose de plus que $f'$ est continue en $a$. Montrer qu'il existe un intervalle $I$ centré en $a$ tel que $f_{|I}$ est injective.
Exercice 17 

- Nombre de solutions d'une équation [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $P$ un polynôme. Montrer que l'équation $P(x)=e^x$ n'admet qu'un nombre fini de solutions.
Enoncé 

Soit $P\in\mathbb R[X]$ scindé (c'est-à-dire que $P$
a toutes ses racines réelles, ou encore que
$P(X)=c(X-x_1)^{\alpha_1}\dots(X-x_p)^{\alpha_p}$) et $\lambda\in\mathbb R$. Montrer que $P'+\lambda P$
est scindé.
Enoncé 

Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$ une fonction continue, dérivable sur $]0,+\infty[$ et telle que $f(0)=\lim_{+\infty}f=0$.
On souhaite démontrer qu'il existe $d\in]0,+\infty[$ tel que $f'(d)=0$. Le résultat étant trivial si $f$ est identiquement nulle, on suppose que ce n'est pas le cas et qu'il existe $c\in]0,+\infty[$ tel que $f(c)>0$.
- Démontrer qu'il existe $a\in]0,c[$ et $b\in]c,+\infty[$ tel que $f(a)=f(b)$.
- Conclure.
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^n$. On suppose qu'il existe $x_1<x_2<\dots<x_n$
tels que $f(x_i)=0$ pour tout $i$. Soit également $a\in[x_1,x_n]$. Montrer qu'il existe
$\lambda\in]x_1,x_n[$ tel que
$$f(a)=(a-x_1)\dots(a-x_n)\frac{f^{(n)}(\lambda)}{n!}.$$
Exercice 21 


- Théorème des accroissements finis généralisés et règle de l'Hospital [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soient $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ continues sur $[a,b]$ et dérivables sur $]a,b[$.
- Montrer qu'il existe $c\in[a,b]$ tel que $g'(c)\big(f(b)-f(a))=f'(c)\big(g(b)-g(a)\big)$.
- En déduire que si $\lim_{x\to a^+}\frac{f'(x)}{g'(x)}=l$, alors $\lim_{x\to a^+}\frac{f(x)-f(a)}{g(x)-g(a)}=l.$
- Application : déterminer $\lim_{x\to 0^+}\frac{\cos x-e^x}{(x+1)e^x-1}$.
Enoncé 

Soit $f:[0,1]\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$ vérifiant $f(0)=0$ et $f(1)=1$.
Démontrer que, pour tout $n\geq 1$, il existe $0<x_1<\dots<x_n<1$ vérifiant $f'(x_1)+\dots+f'(x_n)=n$.
Enoncé 

Soit $I$ un intervalle ouvert de $\mtr$, et $f$ une fonction dérivable sur $I$. On veut prouver que $f'$ vérifie le théorème des valeurs intermédiaires.
- Pourquoi n'est-ce pas trivial?
- Soit $(a,b)\in I^2$, tel que $f'(a)<f'(b)$, et soit $z\in]f'(a),f'(b)[$. Montrer qu'il existe $\alpha>0$ tel que, pour tout réel $h\in]0,\alpha]$, on ait : $$\frac{1}{h}\left(f(a+h)-f(a)\right)<z<\frac{1}{h}\left(f(b+h)-f(b)\right).$$
- En déduire l'existence d'un réel $h>0$ et d'un point $y$ de $I$ tels que : $$y+h\in I \textrm{ et }\frac{1}{h}\left(f(y+h)-f(y)\right)=z.$$
- Montrer qu'il existe un point $x$ de $I$ tel que $z=f'(x)$.
- En déduire que $f'(I)$ est un intervalle.
- Soit $f(x)=x^2\sin\left(\frac{1}{x^2}\right)$ sur $[0,1]$, $0$ en $0$. Montrer que $f$ est dérivable sur $[0,1]$. $f'$ est-elle continue sur $[0,1]$? Déterminer $f'([0,1])$. Qu'en concluez-vous?
Exercice 24 


- Tangente passant par un point donné [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue, dérivable sur $]a,b[$,
et vérifiant $f(a)=f(b)=0$. Soit $d\in\mathbb R\backslash [a,b]$. Montrer qu'il existe une tangente à la courbe représentative
de $f$ passant par le point $(d,0)$.
Enoncé 

Soient $f,g:\mathbb R_+\to\mathbb R$ définies par
$$g(x)=(x-2)e^{x}+(x+2),\ f(x)=\frac{x}{e^x-1}\textrm{ si }x\neq 0\textrm{ et }f(0)=1.$$
- Démontrer que $g\geq 0$ sur $\mathbb R_+$.
- Démontrer que $f$ est de classe $C^1$ sur $\mathbb R_+$. Que vaut $f'(0)$?
- Vérifier que $f''(x)=\frac{e^x g(x)}{(e^x-1)^3}$ pour tout $x>0$. En déduire que $|f'(x)|\leq 1/2$ sur $\mathbb R_+$.
- On définit une suite $(u_n)$ par $u_0=0$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout entier naturel $n$. Prouver que, pour tout $n\in\mathbb N$, on a $$|u_{n}-\ln 2|\leq \left(\frac12\right)^n \ln 2.$$
Exercice 26 



- Application du théorème des accroissements finis à l'étude d'une suite [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Quelle est la nature de la suite $(\sin(\ln n))$?
Exercice 27 



- Zéros des dérivées des fonctions $C^\infty$ bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ de classe $C^\infty$ et bornée.
- Montrer que si une dérivée $f^{(k)}$ admet un nombre fini de zéros, alors les dérivées précédentes $f^{(p)}$, $1\leq p<k$ tendent vers 0 en $\pm \infty$.
- En déduire que, pour $k\geq 2$, $f^{(k)}$ s'annule au moins $k-1$ fois.
Dérivées successives
Enoncé 

Calculer la dérivée $n$-ième de la fonction $f(x)=(x^3+2x-7)e^x$, pour $n\geq 3$.
Enoncé 

On pose, pour tout entier naturel $n$ et pour tout réel $x$,
$$h_n(x)=x^ne^{-x}\textrm{ et }L_n(x)=\frac{e^x}{n!}h_n^{(n)}(x).$$
- Montrer que, pour tout entier $n$, $L_n$ est une fonction polynômiale. Préciser son degré et son coefficient dominant.
- Plus précisément, montrer que, pour tout $k\in\{0,\dots,n\}$, il existe $Q_k\in\mathbb R[X]$ tel que, pour tout $x\in\mathbb R$, on a $$h_n^{(k)}(x)=x^{n-k}e^{-x}Q_k(x).$$
Enoncé 

Calculer la dérivée $n$-ième des fonctions suivantes :
\begin{array}{lll}
\mathbf 1. x\mapsto x\exp(x)&\quad\quad&\mathbf 2. x\mapsto x^2\sin x\\
\mathbf 3.x\mapsto x^{n-1}\ln(1+x).
\end{array}
Enoncé 

Soit $n\in\mathbb N$. Montrer que la dérivée d'ordre $n+1$ de $x^ne^{1/x}$ est
$$\frac{(-1)^{n+1}}{x^{n+2}}e^{1/x}.$$
Enoncé 

On considère $f:\mathbb R\to\mathbb R$ définie par
$$f(x)=\left\{\begin{array}{ll}
0&\textrm{ si }x\leq 0\\
e^{-\frac{1}{x}}&\textrm{ si }x>0.
\end{array}
\right.$$
- Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $]0,+\infty[$ et que, pour tout $x>0$, on a $f^{(n)}(x)=e^{-\frac1x}P_n(1/x)$ où $P_n\in\mathbb R[X]$.
- Montrer que $f$ est $C^\infty$ sur $\mathbb R$.
Enoncé 

Soit $a+ib$ une racine $n-$ième de l'unité, et $f(x)=e^{ax}\cos(bx)$. Donner une formule simple pour $f^{(n)}$.
Applications à l'étude de suite - théorème du point fixe
Enoncé 

On considère la suite récurrente définie par $u_0\in \mathbb R^*$ et $u_{n+1}=f(u_n)$ pour tout $n\in\mathbb N$,
où $f$ la fonction définie par $f(x)=1+\frac 14\sin\frac 1x$.
- Déterminer $I=f(\mathbb R^*)$, et montrer que $I$ est stable par $f$.
- Démontrer qu'il existe $\gamma\in I$ tel que $f(\gamma)=\gamma$.
- Démontrer que, pour tout $x\in I$, $$|f'(x)|\leq\frac 49.$$
- Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.
Enoncé 

Soit $f:[a;b]\to\mathbb [a,b]$ une application dérivable. On suppose qu'il existe $k\in ]0,1[$ tel que, pour tout $x\in [a,b]$, on a $|f'(x)|\leq k$. On dit que $\gamma\in [a,b]$ est un point fixe de $f$ si $f(\gamma)=\gamma$.
- Démontrer que $f$ admet un point fixe.
- Démontrer que ce point fixe est unique. On le note $\gamma$.
- Soit $(u_n)$ une suite récurrente définie par $u_0\in [a,b]$ et $u_{n+1}=f(u_n)$. Démontrer que $(u_n)$ converge vers $\gamma$.