$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Résumé de cours : calcul de primitives

Primitives
  • Soit $I$ un intervalle et $f:I\to \mathbb C$. On dit que $F:I\to\mathbb C$ est une primitive de $f$ si $F$ est dérivable sur $I$ et si pour tout $x\in I$, $F'(x)=f(x)$.
  • Si $f$ admet une primitive $F$ sur l'intervalle $I$, alors la fonction $x\mapsto F(x)+C$ où $C\in\mathbb C$ est une primitive de $f$ sur $I$. Réciproquement, deux primitives de $f$ sur $I$ diffèrent d'une constante.
  • Théorème fondamental du calcul intégral : si $f:I\to\mathbb C$ est continue et si $a\in I$, alors la fonction $F:I\to\mathbb C,\ x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est dérivable sur $I$ et $F'(x)=f(x)$.
  • En particulier, toute fonction continue sur un intervalle admet une primitive sur cet intervalle.
Intégration par parties
  • Une fonction $u:I\to\mathbb C$ est dite de classe $\mathcal C^1$ si $u$ est dérivable sur $I$ et si sa dérivée $u'$ est continue.
  • Théorème : Soient $u,v:I\to\mathbb C$ deux fonctions de classe $C^1$. Alors pour tous $a,b$ dans $I$, on a $$\int_a^b u'(t)v(t)dt=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int_a^b u(t)v'(t)dt.$$
Changement de variables
Théorème : Soit $\varphi$ une fonction de classe $C^1$ sur $I$. Alors si $f$ est continue sur $\varphi(I)$, pour tout $a,b\in I$, on a $$\int_{\varphi(a)}^{\varphi(b)} f(x)dx=\int_a^b f(\varphi(t))\varphi'(t)dt.$$
Tableau des primitives usuelles
Fonction Primitive Intervalle
$$x^{\alpha},\ \alpha\neq {-1}$$ $$\frac{1}{\alpha+1}x^{\alpha+1}$$ $]0,+\infty[$ sauf si $\alpha$ est entier
$\mathbb R$ si $\alpha\in\mathbb N$
$]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$ si $\alpha$ est un entier négatif.
$$\frac 1x$$ $$\ln |x|$$ $]0,+\infty[$ ou $]-\infty,0[$
$$\frac 1{x-a},\ a\neq 0$$ $$\ln |x-a|$$ $]a,+\infty[$ ou $]-\infty,a[$
$$e^{\lambda x},\ \lambda\in\mathbb C\backslash\{0\}$$ $$\frac{1}{\lambda}e^{\lambda x}$$ $\mathbb R$
$$\ln x$$ $$x\ln x-x$$ $]0,+\infty[$
$$\sin x$$ $$-\cos x$$ $\mathbb R$
$$\cos x$$ $$\sin x$$ $\mathbb R$
$$\tan x$$ $$-\ln|\cos x|$$ $\left]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi\right[,\ k\in\mathbb Z$
$$\sh x$$ $$\ch x$$ $\mathbb R$
$$\ch x$$ $$\sh x$$ $\mathbb R$
$$\th x$$ $$\ln|\ch x|$$ $\mathbb R$
$$\frac1{1+x^2} $$ $$\arctan x$$ $\mathbb R$
$$\frac1{a^2+x^2},\ a\neq 0$$ $$\frac 1a\arctan\left(\frac xa\right)$$ $\mathbb R$
$$\frac1{\sqrt{1-x^2}} $$ $$\arcsin x$$ $]-1,1[$