$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Intégration sur un segment

Fonctions uniformément continues
  • Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est uniformément continue si $$\forall\veps>0,\ \exists\eta>0,\ \forall (x,y)\in I^2,\ |x-y|<\eta\implies |f(x)-f(y)|<\veps.$$
  • Théorème de Heine : Toute fonction continue sur un segment $[a,b]$ est uniformément continue.
Fonctions continues par morceaux
  • On appelle subdivision du segment $[a,b]$ toute suite finie $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$. Le pas de cette subdivision est le plus grand des $a_{i+1}-a_i$.
  • On dit que $f:[a,b]\to\mathbb R$ est continue par morceaux sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de $[a,b]$ telle que la restriction de $f$ à chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ est continue et admet une limite en $a_i$ et en $a_{i+1}$.
  • On dit que $f:[a,b]\to\mathbb R$ est une fonction en escalier sur $[a,b]$ s'il existe une subdivision $a_0=a<a_1<\dots<a_n=b$ de $[a,b]$ telle que la restriction de $f$ à chaque intervalle $]a_i,a_{i+1}[$ est constante.
Intégrale d'une fonction continue
  • Une fonction $f:[a,b]\to\mathbb R$ est en escalier s'il existe une subdivision $\sigma=(c_0=a<c_1<\dots<c_n=b)$ de $[a,b]$ telle que $f$ soit constante sur chaque intervalle $]c_i,c_{i+1}[$. On dit alors que $\sigma$ est une subdivision adaptée à $f$.
  • Si $f:[a,b]\to\mathbb R$ est en escalier et si $\sigma=(c_0=a<c_1<\dots<c_n=b)$ est une subdivision adaptée à $f$, on appelle intégrale de $f$ sur $[a,b]$ le réel $$\int_a^b f=\sum_{i=0}^{n-1} (c_{i+1}-c_i)f(x_i)$$ où $x_i$ est n'importe quel réel de l'intervalle $]c_i,c_{i+1}[$. Remarquons que le nombre $\sum_{i=0}^{n-1} (c_{i+1}-c_i)f(x_i)$ ne dépend pas d'une subdivision adaptée à $f$, ce qui justifie que notre définition est correcte.
  • Le théorème suivant est fondamental pour passer de l'intégrale d'une fonction en escalier à l'intégrale d'une fonction continue.
    Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue. Alors pour tout $\veps>0$, il existe deux fonctions en escalier $\phi$ et $\psi$ définies sur $[a,b]$ telles que $$\phi\leq f\leq \psi\textrm{ et }\psi-\phi\leq \veps.$$
  • Théorème et définition : Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction continue et posons \begin{eqnarray*} \mathcal I^-(f)&=&\left\{\int_a^b \phi;\ \phi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \phi\leq f\right\}\\ \mathcal I^+(f)&=&\left\{\int_a^b \psi;\ \psi:[a,b]\to \mathbb R\textrm{ en escalier}, \psi\geq f\right\}. \end{eqnarray*} Alors $\mathcal I^-(f)$ est majoré et $\mathcal I^+(f)$ est minoré. De plus, $$\sup \mathcal I^-(f)=\inf \mathcal I^+(f).$$ Ce nombre est appelé intégrale de $f$ sur $I$ et est noté $\int_a^b f$ ou $\int_a^b f(t)dt$.
Propriétés fondamentales de l'intégrale des fonctions continues sur un segment
  Soit $I=[a,b]$ un segment, et $f,g:[a,b]\to\mathbb R$ deux fonctions continues sur ce segment.
  • linéarité : pour tout couple $(\alpha,\beta)\in\mathbb R^2$, $$\int_a^b \big(\alpha f+\beta g)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g.$$
  • positivité : si $f\geq 0$, alors $\int_a^b f\geq 0$.
  • croissance : si $f\leq g$, alors $\int_a^b f\leq \int_a^b g$.
  • En particulier, on en déduit que $$\left|\int_a^b f\right|\leq \int_a^b |f|.$$
  • Relation de Chasles : si $c\in [a,b]$, alors $$\int_a^b f=\int_a^c f+\int_c^b f.$$
  • Théorème : L'intégrale sur un segment d'une fonction continue de signe constant est nulle si et seulement si cette fonction est nulle.
  • Inégalité de Cauchy-Schwarz : $$\left|\int_a^b f(t)g(t)dt\right|\leq\left(\int_a^b f^2(t)dt\right)^{1/2}\left(\int_a^b g^2(t)dt\right)^{1/2}$$ avec égalité si et seulement si la famille $(f,g)$ est liée.
Sommes de Riemann
  • Théorème : Soit $f$ une fonction continue par morceaux sur le segment $[a,b]$ à valeurs dans $\mathbb R$. Alors $$\frac {b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$