Résumé de cours : Fractions rationnelles

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.

Corps des fractions, opérations, degré

Une fraction rationnelle à coefficients dans $\mathbb K$ est le quotient $\frac PQ$ de deux polynômes de $\mathbb K[X]$ avec $Q\neq 0$. Par définition, $\frac PQ=\frac RS$ si et seulement si $PS=QR$. On note $\mathbb K(X)$ l'ensemble des fractions à coefficients dans $\mathbb K$.
On définit l'addition et la multiplication de fractions rationnelles de façon naturelle : $$\frac{P}{Q}+\frac{R}{S}=\frac{PS+RQ}{QS},$$ $$\frac{P}{Q}\times \frac{R}{S}=\frac{PR}{QS}.$$
Muni de ces deux opérations, $\mathbb K(X)$ est un corps.
Le degré d'une fraction rationnelle $\frac PQ$ est par définition $\deg( P)-\deg(Q)$. C'est un élément de $\mathbb Z\cup\{-\infty\}$.

Fraction irréductible, zéros, pôles

Une fraction rationnelle $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit $\frac PQ$ où $P,Q\in\mathbb K[X]$ sont premiers entre eux. Cette écriture est unique, à un facteur multiplicatif près. Elle s'appelle la représentation irréductible de $F$.
Si $F\in\mathbb K(X)$ s'écrit sous forme irréductible $\frac PQ$, alors les zéros de $F$ sont les zéros de $P$, les pôles de $F$ sont les zéros de $Q$. La multiplicité d'un zéro ou d'un pôle de $F$ est par définition sa multiplicité en tant que zéro de $P$ ou de $Q$.

Décomposition en éléments simples

Si $F=\frac PQ\in\mathbb K(X)$, on appelle partie entière de $F$ le quotient dans la division euclidienne de $P$ par $Q$.
Décomposition en éléments simples sur $\mathbb C$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb C(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb C$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}$, alors il existe une unique famille $(\lambda_{k,j})$ de complexes telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right).$$
Décomposition en éléments simples sur $\mathbb R$ : Soit $F=\frac PQ\in\mathbb R(X)$ non-nulle écrite sous forme irréductible et soit $E$ la partie entière de la fraction rationnelle. Si $Q$ se factorise dans $\mathbb R$ sous la forme $\prod_{k=1}^r (X-z_k)^{\mu_k}\prod_{k=1}^s (X^2+\beta_k X+\gamma_k)^{\nu_k}$ avec $\beta_k^2-4\gamma_k<0$, alors il existe trois uniques familles $(\lambda_{k,j})$, $(\theta_{k,j})$ et $(\tau_{k,j})$ de réels telle que $$F(X)=E(X)+\sum_{k=1}^r \left(\sum_{j=1}^{\mu_k} \frac{\lambda_{k,j}}{(X-z_k)^j}\right)+\sum_{k=1}^s\left(\sum_{j=1}^{\nu_k}\frac{\theta_{k,j}X+\tau_{k,j}}{(X^2+\beta_k X+\gamma_k)^j}\right).$$

Pratique de la décomposition en éléments simples

Pour décomposer une fraction rationnelle en éléments simples,

on l'écrit sous forme irréductible $P/Q$;
on calcule la partie entière de la fraction rationnelle;
on écrit à priori la décomposition en éléments simples;
on exploite éventuellement la parité de la fraction rationnelle;
pour un pôle $a$ d'ordre $m$, le terme devant $\frac{1}{(X-a)^m}$ s'obtient en calculant $$\lim_{x\to a}\frac{(x-a)^m P(a)}{Q(x)}.$$ En particulier, si $a$ est un pôle simple, alors le terme devant $\frac{1}{X-a}$ est $P(a)/Q'(a)$.
Cas particulier : Si $P$ est un polynôme scindé possédant $p$ racines $\alpha_i$ d'ordres respectifs $m_i$, alors la décomposition en éléments simples de $\frac{P'}P$ est $$\frac{P'}{P}=\sum_{i=1}^p \frac{m_i}{X-\alpha_i}.$$