Résumé de cours : études des fonctions usuelles

Généralités sur les fonctions

Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est paire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est alors symétrique par rapport à l'axe $(Oy)$.
Soit $I$ un intervalle symétrique par rapport à $0$ et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ est impaire si pour tout $x\in I$, $f(-x)=-f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est alors symétrique par rapport à l'origine.
Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ et soit $a>0$. On dit que $f$ est périodique de période $a$ si, pour tout $x\in\mathbb R$, $f(x+a)=f(x)$. La courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est invariante par translation de vecteur $a\vec i$.
Si $f:\mathbb R\to\mathbb R$ vérifie $f(a-x)=f(x)$ pour tout $x\in\mathbb R$, alors la courbe représentative $\mathcal C_f$ de $f$ dans un repère orthonormé est alors symétrique par rapport à la droite $x=a/2$.

Limites de fonctions - dérivabilité

Composition des limites : soient $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ et $\ell\in\mathbb R$. On suppose que $\lim_{x\to a}f(x)=b$ et que $\lim_{x\to b}g(x)=\ell$. Alors $$\lim_{x\to a} g\circ f(x)=\ell.$$
Théorème : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et soit $f:I\to\mathbb R$ dérivable.
- $f$ est croissante sur $I$ si et seulement si, pour tout $x\in I$, $f'(x)\geq 0$;
- si pour tout $x\in I$, on a $f'(x)>0$ sauf éventuellement pour un nombre fini de réels $x$, alors $f$ est strictement croissante.
Soient $I$ un intervalle et $f,g:I\to\mathbb R$ dérivables. Alors $f+g$ et $fg$ sont dérivables, et $$(f+g)'=f'+g'$$ $$(fg)'=f'g+fg'.$$
Soient $f,g:I\to\mathbb R$ deux fonctions dérivables en $a\in I$. Si de plus $g(a)\neq 0$, alors $f/g$ est dérivable en $a$ et $$\left(\frac f g\right)'(a)=\frac{f'(a)g(a)-f(a)g'(a)}{\big(g(a)\big)^2}.$$
Soient $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f:I\to J$, $g:J\to\mathbb R$, $a\in I$, $b\in J$ avec $b=f(a)$. On suppose que $f$ est dérivable en $a$ et $g$ est dérivable en $b$. Alors $g\circ f$ est dérivable en $a$ et $$(g\circ f)'(a)=f'(a)g'(f(a)).$$

Fonctions réciproques

Si $f:I\to\mathbb R$ est continue et strictement monotone, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$.
Si $f:I\to\mathbb R$ est dérivable et vérifie $f'>0$ (resp. $f'<0$) sur $I$, alors $f$ réalise une bijection de $I$ sur $f(I)=J$, la réciproque $f^{-1}:J\to\mathbb R$ est dérivable et, pour tout $b\in J$, $$(f^{-1})'(b)=\frac 1{f'(f^{-1}(b))}.$$
Si $f:I\to \mathbb R$ est une bijection, si $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ sont les courbes représentatives respectives de $f$ et de $f^{-1}$, alors $\mathcal C_f$ et $\mathcal C_{f^{-1}}$ sont symétriques par rapport à la droite $y=x$.

Fonction logarithme népérien

Notation : $\ln x$
Domaine de définition : $]0,+\infty[$
Propriétés opératoires : $$\forall a,b>0,\ \forall n\geq 1,\ \ln(ab)=\ln(a)+\ln(b),\ \ln\left(\frac ab\right)=\ln a-\ln b,\ \ln(a^n)=n\ln a.$$
Dérivée : $x\mapsto \frac 1x$
Sens de variation : croissante
Limites aux bornes : $\lim_{x\to 0}\ln x=-\infty$, $\lim_{x\to+\infty}\ln x=+\infty$.
Courbe représentative :
Logarithme de base $a$ : pour $a>0$ et $a\neq 1$, $\log_a(x)=\frac{\ln x}{\ln a}$.

Fonction exponentielle

Notation : $e^x$ ou $\exp(x)$;
Domaine de définition : $\mathbb R$;
Propriétés opératoires : $$\forall a,b\in\mathbb R,\ \forall n\in\mathbb Z,\ \exp(a+b)=\exp(a)\exp(b),\ \exp(a-b)=\frac{\exp(a)}{\exp(b)},\ \exp(na)=(\exp a)^n.$$
Dérivée : $\exp(x)$;
Sens de variation : croissante
Limites aux bornes : $\lim_{x\to-\infty}\exp(x)=0$, $\lim_{x\to+\infty}\exp(x)=+\infty$;
Courbe représentative :
Exponentielles de base $a$ : pour $a>0$, $a^x=\exp(x\ln a)$.

Fonctions puissance

Définition : pour $\alpha\in\mathbb R$, $x^\alpha=\exp(\alpha \ln x)$;
Domaine de définition : $\mathbb R_+^*$, sauf si $\alpha$ est un entier naturel. Dans ce cas, le domaine de définition est $\mathbb R$.
Dérivée : $\alpha x^{\alpha-1}$;
Sens de variation : croissante si $\alpha>0$, décroissante si $\alpha<0$, constante si $\alpha=0$.
Limites aux bornes :
- si $\alpha>0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=0$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=+\infty$;
- si $\alpha<0$, alors $\lim_{x\to 0}x^\alpha=+\infty$ et $\lim_{x\to+\infty}x^\alpha=0$;
Propriétés algébriques : pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb R$, pour tout $x>0$, on a $$(xy)^\alpha=x^\alpha y^\alpha,\ x^{\alpha+\beta}=x^\alpha x^\beta,\ (x^\alpha)^\beta=x^{\alpha\beta}.$$
Courbe représentative :

Croissance comparée

$$\begin{array}{lll} \forall \alpha,\beta>0, \lim_{x\to+\infty}\frac{x^\alpha}{(\ln x)^\beta}=+\infty&&\forall\alpha\in\mathbb R, \lim_{x\to+\infty}\frac{e^x}{x^\alpha}=+\infty\\ \forall \alpha,\beta>0, \lim_{x\to 0^+}{x^\alpha}{|\ln x|^\beta}=0&&\forall\alpha\in\mathbb R, \lim_{x\to-\infty}e^x|x|^\alpha=0\\ \end{array}$$

Fonctions sinus, cosinus, tangente

Nom	sinus	cosinus	tangente
Notation	$\sin x$	$\cos x$	$\tan x$
Départ et arrivée	$\mathbb R\to[-1,1]$	$\mathbb R\to[-1,1]$	$\mathbb R\backslash\{\frac\pi2+k\pi,\ k\in\mathbb Z\}\to\mathbb R$
Parité	Impaire	Paire	Impaire
Période	$2\pi$	$2\pi$	$\pi$
Dérivée	$\cos x$	$-\sin x$	$1+\tan^2 x=\frac 1{\cos^2 x}$
Monotonie	Croissante sur $[-\pi/2,\pi/2]$	Décroissante sur $[0,\pi]$	Croissante sur $]-\pi/2,\pi/2[$
Courbe représentative

Fonctions arcsin, arccosinus, arctangente

Nom	arcsinus	arccosinus	arctangente
Notation	$\arcsin x$	$\arccos x$	$\arctan x$
Départ et arrivée	$[-1,1]\to[-\pi/2,\pi/2]$	$[-1,1]\to[0,\pi]$	$\mathbb R\to ]–\pi/2,\pi/2[$
Lien avec les fonctions circulaires	$\small y=\arcsin x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\sin y\\ y\in\left[\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right] \end{array}\right.$	$\small y=\arccos x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\cos y\\y\in[0,\pi] \end{array}\right.$	$\small y=\arctan x\iff \left\{ \begin{array}{l} x=\tan y\\y\in\left]\frac{-\pi}2,\frac\pi2\right[ \end{array}\right.$
Parité	Impaire	Ni paire, ni impaire	Impaire
Dérivée	$\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$	$-\frac 1{\sqrt{1-x^2}}$	$\frac1{1+x^2}$
Monotonie	Croissante	Décroissante	Croissante
Limites	Sans objet	Sans objet	$\lim_{x\to+\infty}\arctan x=\frac\pi2$
Courbe représentative
Formules	$\forall x\in [-1,1], \arccos x+\arcsin x=\frac\pi 2$		$\small \forall x> 0,\ \arctan x+\arctan\frac 1x=\frac\pi2.$

Fonctions sinus hyperbolique, cosinus hyperbolique, tangente hyperbolique

Nom	sinus hyperbolique	cosinus hyperbolique	tangente hyperbolique
Définition	$\sh x=\frac{e^x-e^{-x}}2$	$\ch x=\frac{e^x+e^{-x}}2$	$\th x=\frac{\sh x}{\ch x}=\frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}}$
Départ et arrivée	$\mathbb R\to\mathbb R$	$\mathbb R\to [1,+\infty[$	$\mathbb R\to]-1,1[$
Parité	Impaire	Paire	Impaire
Dérivée	$\ch x$	$\sh x$	$1-\th^2 x=\frac 1{\ch^2 x}$
Monotonie	Croissante	Croissante sur $\mathbb R_+$	Croissante
Limites	$\lim_{x\to+\infty}\sh x=+\infty$	$\lim_{x\to+\infty}\ch x=+\infty$	$\lim_{x\to+\infty}\th x=1$
Courbe représentative
Formules	$\ch^2(x)-\sh^2(x)=1$