$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Résumé de cours : Espaces vectoriels de dimension finie

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $E,F$ sont des $\mathbb K$-espace vectoriels.
Base
  • On appelle base de $E$ toute famille libre et génératrice de $E$.
  • Si $\mathcal B=(x_i)_{i\in I}$ est une base de $E$, alors tout $x\in E$ s'écrit de façon unique comme combinaison linéaire $$x=\sum_{i\in I}\alpha_i x_i.$$ Les scalaires $(\alpha_i)_{i\in I}$ s'appellent les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$.
  • Si $(e_i)_{i\in I}$ est une base de $E$ et $(f_i)_{i\in I}$ est une famille de $F$, alors il existe un unique $u\in\mathcal L(E,F)$ tel que $u(e_i)=f_i$ pour tout $i\in I$. De plus,
    • $u$ est injective si et seulement si $(f_i)_{i\in I}$ est une famille libre de $F$;
    • $u$ est surjective si et seulement si $(f_i)_{i\in I}$ est une famille génératrice de $F$;
    • $u$ est bijective si et seulement si $(f_i)_{i\in I}$ est une base de $F$;
Espace de dimension finie
  • On dit que $E$ est de dimension finie s'il possède une famille génératrice finie.
  • Théorème de la base extraite : De toute famille génératrice finie de $E$, on peut extraire une base de $E$. En particulier, un espace de dimension finie admet une base.
  • Théorème de la base incomplète : Si $E$ est de dimension finie, alors toute famille libre de $E$ peut-être complétée en une base de $E$. Pour la compléter, il suffit de considérer certains vecteurs d'une famille génératrice de $E$.
  • En particulier, on déduit des résultats précédents que tout espace vectoriel de dimension finie admet une base finie.
  • Théorème et définition : Si $E$ est de dimension finie, alors toutes les bases de $E$ ont le même nombre d'éléments. Ce nombre s'appelle la dimension de $E$ et est noté $\dim(E)$.
  • Corollaire : Si $E$ est de dimension $n$ et si $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille de $n$ vecteurs de $E$, alors les conditions suivantes sont équivalentes :
    • $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille libre de $E$;
    • $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille génératrice de $E$;
    • $(x_1,\dots,x_n)$ est une base de $E$.
  • En particulier, dans un espace de dimension $n$, une famille libre a toujours au plus $n$ éléments, et une famille génératrice a toujours au moins $n$ éléments.
  • Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, alors $\dim(E\times F)=\dim(E)+\dim(F)$. En particulier, $\dim(\mathbb K^n)=n$.
  • Si $E$ et $F$ sont de dimension finie, alors $\dim\big(\mathcal L(E,F)\big)=\dim(E)\times\dim(F)$.
  • $\dim(\mathbb K_n[X])=n+1$.
  • Si $(x_1,\dots,x_n)$ est une famille finie de $E$, on appelle rang de $(x_1,\dots,x_n)$ la dimension de $F=\textrm{vect}(x_1,\dots,x_n)$.
Sous-espaces et dimension
  • Si $E$ est un espace vectoriel de dimension finie et si $F$ est un sous-espace vectoriel de $E$, alors $F$ est de dimension finie et on a $\dim(F)\leq \dim(E)$. De plus, on a $\dim(F)=\dim(E)\iff F=E$.
  • Tout sous-espace d'un espace de dimension finie admet un supplémentaire.
  • Formule de Grassmann : Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie et soient $F,G$ deux sous-espaces vectoriels de $E$. Alors $$\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)-\dim(F\cap G).$$ En particulier, $F$ et $G$ sont en somme directe si et seulement si $\dim(F+G)=\dim(F)+\dim(G)$.
  • Plus généralement, si $F_1,\dots,F_p$ sont des sous-espaces vectoriels de l'espace vectoriel de dimension finie $E$, alors $$\dim(F_1+\dots+F_p)\leq \sum_{i=1}^n \dim(F_i)$$ avec égalité si et seulement si la somme est directe.
Applications linéaires et dimension
  • Soient $E,F$ deux espaces vectoriels et soit $u\in\mathcal L(E,F)$. Alors, si $S$ est un supplémentaire de $\ker(u)$ dans $E$, $u$ induit un isomorphisme de $S$ sur $\imv(u)$.
  • Soient $E,F$ deux espaces vectoriels avec $E$ de dimension finie. Soit également $u\in\mathcal L(E,F)$. On appelle rang de $u$ la dimension de $\imv(u)$.
  • Théorème du rang : Soient $E,F$ deux espaces vectoriels avec $E$ de dimension finie. Soit également $u\in\mathcal L(E,F)$. Alors $$\dim(E)=\dim\ker(u)+\textrm{rg}(u).$$
Formes linéaires, hyperplans
  • On appelle forme linéaire sur $E$ toute application linéaire de $E$ dans $\mathbb K$. On note $E^*$ l'ensemble des formes linéaires sur $E$, on l'appelle le dual de $E$. Si $E$ est de dimension finie, alors $\dim(E)=\dim(E^*)$.
  • On appelle hyperplan de $E$ tout noyau d'une forme linéaire.
  • Proposition : Deux formes linéaires non nulles ont même noyau si et seulement si elles sont proportionnelles.
  • Théorème : Si $H$ est un hyperplan de $E$ et si $F$ est un sous-espace de $E$ de dimension 1 non contenu dans $H$, alors $H\oplus F=E$. Réciproquement, tout supplémentaire d'une droite vectorielle est un hyperplan.
  • Corollaire : Si $E$ est de dimension finie, un sous-espace $H$ de $E$ est un hyperplan si et seulement si $\dim(H)=\dim(E)-1$.
  • Si $E$ est de dimension $n$, l'intersection de $m$ hyperplans de $E$ est de dimension au moins égale à $n-m$.
  • Si $\mathcal B=(e_1,\dots,e_n)$ est une base de $E$, un hyperplan $H$ de $E$ peut toujours s'écrire sous la forme $$H=\{x\in E;\ a_1x_1+\dots+a_nx_n=0\}$$ où les $x_i$ sont les coordonnées de $x$ dans la base $\mathcal B$ et où les $a_i$ sont des éléments de $\mathbb K$. L'écriture $a_1x_1+\dots+a_nx_n=0$ s'appelle une équation de l'hyperplan. Toutes les équations d'un hyperplan sont proportionnelles.