$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : topologie des espaces vectoriels normés

Démontrer qu'un ensemble est fermé
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est fermé, on peut
  • démontrer que son complémentaire est ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : démontrer que pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$, alors $\ell\in A$;
  • démontrer que $A$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas fermé, on peut
  • démontrer que son complémentaire n'est pas ouvert;
  • utiliser la caractérisation séquentielle : trouver une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$ de sorte que $\ell\notin A$.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas ouvert
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas ouvert, on peut
  • démontrer que son complémentaire n'est pas fermé;
  • trouver un élément $x\in A$ et une suite $(x_n)$ qui converge vers $x$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $x_n\notin A$.
Démontrer que l'intérieur d'un ensemble est vide
  Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble $A$ est vide, on peut, pour tout $x\in A$, trouver une suite $(x_n)$ dans le complémentaire de $A$ qui tend vers $x$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite en $a$
  Pour démontrer que $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut
  • trouver une suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ et telle que $(f(x_n))$ ne converge pas.
  • trouver deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ qui convergent vers $a$ et telles que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ admettent des limites différentes
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une application linéaire est continue
  Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ est continue, on cherche une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on ait $\|u(x)\|\leq C\|x\|$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une application linéaire n'est pas continue
  Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ n'est pas continue, on peut chercher une suite $(x_n)$ de $E$ avec $\|x_n\|=1$ et $\|u(x_n)\|\to+\infty$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une application est lipschitzienne
  Pour démontrer qu'une application définie sur un intervalle de $\mathbb R$ est lipschitzienne, on peut utiliser l'inégalité des accroissements finis.