Méthodes : topologie des espaces vectoriels normés
Démontrer qu'un ensemble est fermé
Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est fermé, on peut
- démontrer que son complémentaire est ouvert;
- utiliser la caractérisation séquentielle : démontrer que pour toute suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$, alors $\ell\in A$;
- démontrer que $A$ est l'image réciproque d'un fermé par une application continue.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas fermé
Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas fermé, on peut
- démontrer que son complémentaire n'est pas ouvert;
- utiliser la caractérisation séquentielle : trouver une suite $(x_n)$ de $A$ qui converge vers $\ell$ de sorte que $\ell\notin A$.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas ouvert
Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas ouvert, on peut
- démontrer que son complémentaire n'est pas fermé;
- trouver un élément $x\in A$ et une suite $(x_n)$ qui converge vers $x$ de sorte que, pour tout $n\in\mathbb N$, $x_n\notin A$.
Démontrer que l'intérieur d'un ensemble est vide
Pour démontrer que l'intérieur d'un ensemble $A$ est vide, on peut, pour tout $x\in A$, trouver une suite $(x_n)$ dans le complémentaire de $A$ qui tend vers $x$
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une fonction n'admet pas de limite en $a$
Pour démontrer que $f$ n'admet pas de limite en $a$, on peut
- trouver une suite $(x_n)$ qui converge vers $a$ et telle que $(f(x_n))$ ne converge pas.
- trouver deux suites $(x_n)$ et $(y_n)$ qui convergent vers $a$ et telles que $(f(x_n))$ et $(f(y_n))$ admettent des limites différentes
Démontrer qu'une application linéaire est continue
Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ est continue, on cherche une constante $C>0$ telle que, pour tout $x\in E$, on ait
$\|u(x)\|\leq C\|x\|$ (voir cet exercice).
Démontrer qu'une application linéaire n'est pas continue
Pour démontrer qu'une application linéaire $u:E\to F$ n'est pas continue, on peut chercher une suite $(x_n)$ de $E$ avec $\|x_n\|=1$ et $\|u(x_n)\|\to+\infty$
(voir cet exercice).
Démontrer qu'une application est lipschitzienne
Pour démontrer qu'une application définie sur un intervalle de $\mathbb R$ est lipschitzienne, on peut utiliser l'inégalité des accroissements finis.