Méthodes : réduction des endomorphismes

Lorsqu'on a une matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ avec $n$ petit (disons $n\leq 4$), la méthode la plus classique pour étudier si elle est diagonalisable consiste d'abord à calculer son polynôme caractéristique $\chi_A$ et à le factoriser pour déterminer les valeurs propres de $A.$ Si possible, on essaie d'obtenir directement une forme factorisée de $\chi_A$. Pour cela, lors de son calcul, on tente de réaliser des opérations élémentaires afin (suivant les cas) :

Une fois le polynôme caractéristique calculé et factorisé, on distingue trois cas :

Si l'on cherche maintenant à diagonaliser effectivement $A,$ ou si $\chi_A$ est scindé mais n'est pas à racines simples, pour chaque valeur propre $\lambda$, on cherche une base du sous-espace propre $E_\lambda$ en résolvant l'équation $AX=\lambda X.$ Si pour chaque valeur propre $\lambda$, on a $\textrm{mult}(\lambda)=\dim(E_\lambda)$ alors $A$ est diagonalisable. De plus, on a $A=PDP^{-1}$ où $P$ est la matrice dont les colonnes sont constituées par la réunion des bases des espaces propres et la matrice $D$ est la matrice diagonale dont les coefficients sont les valeurs propres de $A,$ écrites dans le même ordre que les vecteurs colonnes de $P.$ Si jamais il y a une valeur propre $\lambda$ pour laquelle $\dim(E_\lambda)<\textrm{mult}(\lambda),$ alors $A$ n'est pas diagonalisable (voir cet exercice).

Il n'est pas toujours obligatoire de calculer le polynôme caractéristique pour déterminer les valeurs propres d'une matrice. Par exemple, si la matrice $A$ a un petit rang (par exemple, parce que des lignes ou des colonnes sont proportionnelles), on sait que $0$ est valeur propre de $A$ avec d'après le théorème du rang $\dim(E_0)=1-\textrm{rg}(f).$ On peut éventuellement déterminer les autres valeurs propres en utilisant que la trace (resp. le déterminant) de $A$ est la somme (resp. le produit) des valeurs propres. (voir cet exercice).

Quand on a un endomorphisme $\phi\in\mathcal L(E)$ défini sur un espace de polynômes, de matrices, ou sur un espace de dimension infinie, sa réduction ne nécessite pas toujours de calculer le polynôme caractéristique que $\phi$. Le plus souvent, on cherche simultanément les éléments propres (valeurs propres et vecteurs propres) en étudiant l'équation aux éléments propres $$\phi(x)=\lambda x$$ et en déterminant des conditions sur $\lambda$ pour que cette équation admette des solutions $x$ non nulles (voir cet exercice ou celui-ci).

Pour déterminer une racine carrée d'une matrice $A$, on peut :

La même méthode fonctionne pour une racine cubique ou plus généralement pour une racine $n$-ième (voir cet exercice).

On peut aussi une diagonalisation de $A$ pour calculer ses puissances : si $A=PDP^{-1},$ alors $A^n=PD^n P^{-1}$.

Quand on veut démontrer qu'un endomorphisme $v\in\mathcal L(E)$ vérifie certaines propriétés relatives à l'endomorphisme diagonalisable $u$, on peut vérifier que $v$ vérifie cette propriété sur chaque sous-espace propre de $u$, puis utiliser que $E$ est somme directe des sous-espaces propres de $u$ (voir cet exercice).

Les prototypes de matrices non diagonalisables sont $$A=\left(\begin{array}{cc} a&1\\ 0&a \end{array} \right)\textrm{ et }B=\left(\begin{array}{cc} 0&1\\ -1&0 \end{array} \right).$$ La matrice $A$ n'est pas diagonalisable, car elle admet pour seule valeur propre $a$, et si elle était diagonalisable alors elle serait égale à $aI_2$.

La matrice $B$ n'est pas diagonalisable sur $\mathbb R$ car son polynôme caractéristique est $X^2+1$, qui n'admet pas de racines dans $\mathbb R$.

Pour trigonaliser une matrice $A$,