$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : groupes

Démontrer que $(G,\star)$ est un groupe
  Pour démontrer qu'un ensemble $(G,\star)$ est un groupe, on peut
Démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$
  Pour démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$, on utilise la caractérisation des sous-groupes, c'est-à-dire que l'on prouve que
  • $e\in H$.
  • Si $x,y\in H$, alors $x^{-1}\in H$ et $xy\in H$
(voir cet exercice).
Travailler dans les groupes finis
  • Dans les groupes finis, on pourra souvent utiliser que si $x$ est un élément du groupe, $\{x^n;\ n\in\mathbb N\}$ est fini.
  • Dans un groupe fini $G$, on réalise parfois une partition de $G$ en ensembles disjoints ayant certaines propriétés, et on réalise un dénombrement (voir cet exercice ou cet exercice).
Morphisme de groupe et groupe monogène, engendré, cyclique
  Si $f:G\to H$ et si $f$ est un groupe monogène engendré par $a$, alors $f$ est entièrement déterminé par $f(a)$ (voir cet exercice)
Calculer l'ordre d'un élément dans un groupe
  Pour montrer que l'ordre d'un élément dans un groupe est $d$, on peut
  • commencer par vérifier que $x^d=e$;
  • puis prouver que si $x^r=e$, alors $d|r$.
(voir cet exercice)