Méthodes : groupes
Démontrer que $(G,\star)$ est un groupe
Pour démontrer qu'un ensemble $(G,\star)$ est un groupe, on peut
- vérifier tous les points de la définition d'un groupe (voir cet exercice ou voir cet exercice);
- vérifier qu'il s'agit d'un sous-groupe d'un groupe connu.
Démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$
Pour démontrer que $H$ est un sous-groupe de $G$, on utilise la caractérisation des sous-groupes, c'est-à-dire
que l'on prouve que
- $e\in H$.
- Si $x,y\in H$, alors $x^{-1}\in H$ et $xy\in H$
Travailler dans les groupes finis
- Dans les groupes finis, on pourra souvent utiliser que si $x$ est un élément du groupe, $\{x^n;\ n\in\mathbb N\}$ est fini.
- Dans un groupe fini $G$, on réalise parfois une partition de $G$ en ensembles disjoints ayant certaines propriétés, et on réalise un dénombrement (voir cet exercice ou cet exercice).
Morphisme de groupe et groupe monogène, engendré, cyclique
Si $f:G\to H$ et si $f$ est un groupe monogène engendré par $a$, alors $f$ est entièrement déterminé par $f(a)$
(voir cet exercice)
Calculer l'ordre d'un élément dans un groupe
Pour montrer que l'ordre d'un élément dans un groupe est $d$, on peut
- commencer par vérifier que $x^d=e$;
- puis prouver que si $x^r=e$, alors $d|r$.