$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Méthodes : familles sommables

Démontrer qu'un ensemble est au plus dénombrable
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est au plus dénombrable, on peut
  • l'écrire comme réunion finie ou dénombrable d'ensembles finis ou dénombrables (voir cet exercice);
  • construire une application injective de $A$ dans $D$, où $D$ est dénombrable (voir cet exercice);
  • construire une application surjective de $D$ dans $A$, où $D$ est dénombrable.
Démontrer qu'un ensemble n'est pas dénombrable
  Pour démontrer qu'un ensemble $A$ n'est pas dénombrable, on peut
  • démontrer qu'il existe une application injective d'un ensemble non dénombrable (par exemple, $\mathbb R$), dans A (voir cet exercice);
  • raisonner par l'absurde en supposant qu'il existe une application bijective de $\mathbb N$ dans $A$, et obtenir une contradiction (voir cet exercice).
Démontrer qu'une famille est sommable
  Pour démontrer qu'une famille $(a_i)_{i\in I}$ est sommable, on peut
  • si $\phi$ est une bijection de $\mathbb N$ sur $I$, on peut démontrer que la série $\sum_n a_{\phi(n)}$ est absolument convergente (voir cet exercice);
  • si $I$ s'écrit sous la forme d'une partition $I=\bigcup I_n$, et si on sait facilement calculer ou majorer $\sum_{i\in I_n}|a_i|$ (par exemple parce que $I_n$ est fini ou qui $I_n$ est facilement mis en bijection avec $\mathbb N$), il suffit de prouver la convergence de $\sum_n \sum_{i\in I_n} |a_i|$ (voir cet exercice);
  • si $I=\mathbb N^2$, il suffit de démontrer que pour tout $m\geq 1$, la série $\sum_{n}|a_{(m,n)}|$ est convergente, et que la série $\sum_m\left(\sum_{n\geq 1}|a_{(m,n)}|\right)$ est aussi convergente (voir cet exercice).
Démontrer qu'une famille n'est pas sommable
  Pour démontrer qu'une famille $(a_i)_{i\in I}$ n'est pas sommable, on peut
  • démontrer qu'il existe une infinité de termes dans la famille $(a_i)_{i\in I}$ qui sont supérieurs à une constante (cette méthode est analogue à celle qui consiste à prouver qu'une série n'est pas convergente cas son terme général ne tend pas vers 0) (voir cet exercice);
  • démontrer qu'il existe une application injective $\phi:\mathbb N\to I$ telle que la série $\sum_n a_{\phi(n)}$ n'est pas absolument convergente (voir cet exercice);
  • si $I$ s'écrit sous la forme d'une partition $I=\bigcup I_n$, et si on sait facilement calculer ou majorer $\sum_{i\in I_n}|a_i|$ (par exemple parce que $I_n$ est fini ou qui $I_n$ est facilement mis en bijection avec $\mathbb N$), il suffit de prouver la divergence de $\sum_n \sum_{i\in I_n} |a_i|$ (voir cet exercice).
Permuter des sommes
  Pour démontrer que l'on peut donner un sens à $\sum_n\sum_p u_{n,p}$, il suffit de démontrer que l'on peut donner un sens à $\sum_p \sum_n |u_{n,p}|$ (remarquer qu'on a permuté les sommes et mis un module). Cela revient en effet à démontrer que la famille est sommable (voir cet exercice).