Méthodes : anneaux
Démontrer que $A$ est un anneau
Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est un anneau, on peut vérifier qu'il s'agit d'un sous-anneau d'un anneau connu (voir cet exercice).
Calcul algébrique dans un anneau
Pour réaliser des calculs algébriques dans un anneau (calcul de puissances, de sommes à une certaine puissance, factorisation),
on peut utiliser les habituelles identités remarquables (dont la formule du binôme de Newton), à condition de travailler avec des éléments qui commutent
(voir cet exercice).
Chercher les éléments inversibles d'un anneau
Pour chercher les éléments inversibles d'un anneau $A$, on raisonne souvent par analyse/synthèse : on prend $x\in A$ dont on suppose qu'il est inversible, on écrit qu'il existe $y\in A$ tel que $xy=1$ et on essaie d'obtenir des conditions nécessaires sur $x$. Ces conditions nécessaires peuvent venir de plusieurs façons :
- par des considérations arithmétiques (voir cet exercice);
- par l'utilisation d'une "norme" sur $A$, c'est-à-dire d'une fonction $N:A\to \mathbb Z$ multiplicative au sens où $N(ab)=N(a)N(b)$ pour tous $a,b\in A$. Si $x$ est inversible, on doit alors avoir nécessairement $N(x)=\pm 1$ (voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb C$
Pour décomposer un polynôme $P$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on cherche les racines de $P$
(voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb R$
Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, on peut commencer par
le décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C$, puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées
(voir cet exercice).