Méthodes : anneaux
Démontrer que $A$ est un anneau
Pour démontrer qu'un ensemble $A$ est un anneau, on peut vérifier qu'il s'agit d'un sous-anneau d'un anneau connu (voir cet exercice).
Calcul algébrique dans un anneau
Pour réaliser des calculs algébriques dans un anneau (calcul de puissances, de sommes à une certaine puissance, factorisation),
on peut utiliser les habituelles identités remarquables (dont la formule du binôme de Newton), à condition de travailler avec des éléments qui commutent
(voir cet exercice).
Chercher les éléments inversibles d'un anneau
Pour chercher les éléments inversibles d'un anneau $A$, on raisonne souvent par analyse/synthèse : on prend $x\in A$ dont on suppose qu'il est inversible, on écrit qu'il existe $y\in A$ tel que $xy=1$ et on essaie d'obtenir des conditions nécessaires sur $x$. Ces conditions nécessaires peuvent venir de plusieurs façons :
- par des considérations arithmétiques (voir cet exercice);
- par l'utilisation d'une "norme" sur $A$, c'est-à-dire d'une fonction $N:A\to \mathbb Z$ multiplicative au sens où $N(ab)=N(a)N(b)$ pour tous $a,b\in A$. Si $x$ est inversible, on doit alors avoir nécessairement $N(x)=\pm 1$ (voir cet exercice).
Résoudre une équation dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$
- Pour résoudre une équation linéaire, ou un système d'équations, dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$, dans le cas où $n$ est premier, on procède comme si l'on travaillait dans $\mathbb R$ ou $\mathbb C$, notamment en utilisant la méthode du pivot de Gauss. On est souvent amené à calculer l'inverse d'un élément $\bar a$ de $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Ceci se fait en utilisant l'algorithme d'Euclide (il s'agit en effet de trouver des coefficients de Bézout) (voir cet exercice).
- Pour résoudre une équation du second degré, on met le polynôme sous forme canonique, c'est-à-dire qu'on le transforme pour l'écrire sous la forme $(x+\bar a)^2-\bar b=0$.
On regarde alors si $\bar b$ est un carré dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$. Si ce n'est pas le cas, l'équation n'admet pas de solutions. Si c'est le cas, ie si $\bar b=\bar c^2$, alors l'équation est équivalente à :
$$(x+\bar a-\bar c)(x+\bar a+\bar c)=0.$$
On distingue alors deux cas :
- si $n$ est premier, et donc $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un corps, alors on a deux solutions : $x=-\bar a+\bar c$ et $x=-\bar a-\bar c$.
- si $n$ n'est pas premier, il faut plutôt chercher dans $\mathbb Z/n\mathbb Z$ toutes les solutions à l'équation $\bar y^2=\bar b$.
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb C$
Pour décomposer un polynôme $P$ en produits d'irréductibles de $\mathbb C[X]$, on cherche les racines de $P$
(voir cet exercice).
Décomposer un polynôme en produit d'irréductibles sur $\mathbb R$
Pour décomposer un polynôme $P\in\mathbb R[X]$ en produits d'irréductibles de $\mathbb R[X]$, on peut commencer par
le décomposer en produits d'irréductibles de $\mathbb C$, puis regrouper les facteurs correspondants à deux racines non réelles conjuguées
(voir cet exercice).