Math spé : Exercices sur la topologie des espaces vectoriels normés
Ouverts et fermés
Enoncé 

Déterminer si les ensembles suivants sont ouverts ou fermés :
$$\begin{array}{lll}
A=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid 0<\vert x-1\vert <1 \}&\quad\quad& B=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid 0\leq x\leq y\}\\
C=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid \vert x\vert <1,\; \vert y\vert \leq
1 \}&\quad\quad& D=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid x\in \mtq\textrm{ et }y\in \mtq \}\\
E=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid x\not\in \mtq \textrm{ ou }\ y\not\in \mtq \}&\quad\quad& F=\{(x,y)\in \mtr^2 \mid x^2+y^2 <4 \}.
\end{array}$$
Exercice 2 
- Exemples d'ouverts et de fermés de $\mathbb R$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Dans l'espace vectoriel normé $\mathbb R$, déterminer si les parties suivantes sont ouvertes ou fermées : $\mathbb N$, $\mathbb Z$, $\mathbb Q$, $[0,1[$, $[0,+∞[$, $]0,1[\cup \{2\}$, $\{1/n, n \in\mathbb N^*\}$, $\bigcap_{n\geq 1}]-1/n,1/n[$.
Enoncé 

Soit $\lambda>0$. Pour tout entier $n\geq 1$, on note $B_n$ le disque
$$B_n=\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ \left(x-\frac 1n\right)^2+\left(y-\frac 1n\right)^2\leq \frac{\lambda^2}{n^2}\right\}.$$
- A quelle condition sur $\lambda$ a-t-on $B_{n+1}\subset B_n$.
- Soit $B=\bigcup_{n\geq 1} B_n$. Donner une condition nécessaire et suffisante sur $\lambda$ pour que $B$ soit fermé.
Exercice 4 
- Somme d'un ensemble et d'un ouvert ou d'un fermé [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $A$ et $B$ deux parties de $E$. On définit :
$$A+B=\left\{z\in E;\ \exists x\in A,\ \exists y\in B,\ z=x+y\right\}.$$
- Démontrer que si $A$ est ouvert, alors $A+B$ est ouvert.
- Démontrer que les parties $A=\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy=1\}$ et $B=\{0\}\times \mathbb R$ sont fermées.
- Démontrer que $A+B$ n'est pas fermée.
Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $F$ un sous-espace vectoriel de $E$. On suppose que $F$ est ouvert. Démontrer que $F=E$.
Exercice 6 
- Séparation par des ouverts de deux parties à distance positive [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $A$, $B$ deux parties de $E$. On suppose que
$\inf_{x\in A,y\in B}\|x-y\|>0$. Démontrer qu'il existe deux ouverts $U$ et $V$ de $E$ tels que $A\subset U$, $B\subset V$ et $U\cap V=\varnothing$.
Exercice 7 



- Tout ouvert de $\mathbb R$ est réunion d'intervalles ouverts [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Dans cet exercice, la notation $(x,y)$ désigne le segment $[x,y]$ ou le segment $[y,x]$ suivant l'ordre de $x$ et de $y$. On considère $U$ un ouvert de $\mathbb R$. On définit une relation sur les éléments de $U$ par
$$x\mathcal R y\iff (x,y)\subset U.$$
- Démontrer que $\mathcal R$ est une relation d'équivalence. Pour $x\in U$, on note $C(x)$ la classe d'équivalence de $x$.
- Démontrer que $C(x)$ est un intervalle.
- Démontrer que $C(x)$ est un intervalle ouvert.
- En déduire que $U$ est réunion d'intervalles ouverts deux à deux disjoints.
Exercice 8 



- Quelques parties de l'ensemble des suites bornées [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites bornées, muni de la norme
$\|u\|_\infty=\sup_{n\in\mathbb N}|u_n|.$
Déterminer si les ensembles suivants sont fermés ou non :
$$A=\{\textrm{suites croissantes}\},\ B=\{\textrm{suites convergeant vers 0}\}.$$
Intérieur et adhérence
Enoncé 

Déterminer l'intérieur et l'adhérence des parties de $\mathbb R^2$ suivantes :
\begin{eqnarray*}
A&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ x>0\right\}\\
B&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2; \ xy=1\right\}\\
C&=&\left\{(x,y)\in\mathbb R^2;\ xy>1\right\}\\
D&=&\left\{(x,y)\in\mtr^2\mid x^2+y^2\le 2\right\} \setminus \left\{(x,y)\in \mtr^2
\mid (x-1)^2+y^2<1\right\}.
\end{eqnarray*}
Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé. Montrer que l'adhérence d'une boule ouverte est la boule fermée de même rayon.
Exercice 11 
- Adhérence et intérieur d'un sous-espace vectoriel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $V$ un sous-espace vectoriel de $E$.
- Montrer que $\bar V$ est un sous-espace vectoriel de $E$.
- Montrer que si $\stackrel{\circ}V\neq\varnothing$, alors $V=E$.
- Application : soit $H$ un hyperplan de $E$. Démontrer que $H$ est ou bien fermé ou bien dense dans $E$.
Exercice 12 

- Exemple dans les fonctions continues [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $E$ l'espace vectoriel des fonctions continues sur $[0,1]$ à valeurs dans $\mathbb R$, muni de $\|\cdot\|_\infty$. On note $D$ l'ensemble des fonctions de $E$ qui sont dérivables et $P$ l'ensemble des fonctions de $E$ qui sont polynomiales. Déterminer l'intérieur de $D$ et de $P$.
Exercice 13 

- Opérations ensemblistes, intérieur et adhérence [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soient $A,B$ deux parties d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$.
- On suppose $A\subset B$. Démontrer que $\mathring A\subset\mathring B$ et que $\bar A\subset\bar B$.
- Démontrer que $(A\cap B)^\circ=\mathring A\cap\mathring B$ et que $\mathring A\cup\mathring B\subset ( A\cup B)^\circ$, mais que l'inclusion peut être stricte.
- Comparer $\overline{A\cap B}$ et $\bar A\cap \bar B$, puis $\overline{A\cup B}$ et $\bar A\cup \bar B$.
Exercice 14 

- Fermeture et adhérence d'un convexe [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $C$ une partie convexe d'un espace vectoriel normé. Démontrer que l'adhérence de $C$ est convexe, puis que l'intérieur de $C$ est convexe.
Enoncé 

Donner un exemple d'ensemble $A$ tel que $A$, l'adhérence de $A$, l'intérieur de $A$, l'adhérence de l'intérieur de $A$ et l'intérieur de l'adhérence de $A$ sont des ensembles distincts deux à deux.
Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé Soit $A$ une partie non vide et
bornée de $E$. On définit $\diam(A)=\sup \{\|y-x\|, x,y\in A\}$.
- Démontrer que $\bar A$ et $\Fr(A)$ sont également bornés.
- Comparer $\diam(A)$, $\diam(\stackrel{\circ}{A})$ et $\diam(\bar A)$ lorsque $\stackrel{\circ}{A}$ est non vide.
-
- Montrer que $\diam(\Fr(A)) \le \diam(A)$.
- Soit $x$ un élément de $A$, et $u$ un élément de $E$ avec $u\neq 0$. On considère l'ensemble $X=\{t\ge 0 \mid x+tu\in A\}$. Montrer que $\sup X$ existe.
- En déduire que toute demi-droite issue d'un point $x$ de $A$ coupe $\Fr(A)$.
- En déduire que $\diam(\Fr(A)) = \diam (A)$.
Partie dense
Enoncé 

Soient $U$ et $V$ deux ouverts denses d'un espace vectoriel normé $E$. Démontrer que $U\cap V$ reste dense.
Enoncé 

Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ et $F=\{f\in E;\ f(0)=0\}$.
- On munit $E$ de la norme $\|f\|_\infty=\sup_{x\in [0,1]}|f(x)|$. Démontrer que $F$ est fermé dans $(E,\|\cdot\|_\infty)$.
- On munit $E$ de la norme $\|f\|_1=\int_{0}^1|f(x)|dx$. Démontrer que $F$ est dense dans $(E,\|\cdot\|_1)$.
Enoncé 

Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels telles que
$$u_n\to+\infty,\ v_n\to+\infty,\ u_{n+1}-u_n\to 0.$$
- Soit $\veps>0$ et $n_0\in\mathbb N$ tels que, pour tout $n\geq n_0$, $|u_{n+1}-u_n|\leq\veps$. Démontrer que, pour tout $a\geq u_{n_0}$, il existe $n\geq n_0$ tel que $|u_n-a|\leq \veps$.
- En déduire que $\{u_n-v_p;\ n,p\in\mathbb N\}$ est dense dans $\mathbb R$.
- Montrer que l'ensemble $\{\cos(\ln n);\ n\geq 1\}$ est dense dans $[-1,1]$.
Enoncé 

Soit $H$ un sous-groupe de $(\mathbb R,+)$ non réduit à $\{0\}$.
- Justifier l'existence de $m=\inf\{x\in H;\ x>0\}$.
- On suppose que $m>0$. Démontrer que $m\in H$ puis que $H=m\mathbb Z$.
- On suppose que $m=0$. Démontrer que $H$ est dense dans $\mathbb R$.
- En déduire que, si $a$ et $b$ sont deux réels non nuls, $a\mathbb Z+b\mathbb Z$ est dense dans $\mathbb R$ si et seulement si $\frac ab\notin\mathbb Q$.
Applications continues
Enoncé 

Démontrer que les deux ensembles suivants sont ouverts :
$$F=\left\{(x,y)\in\mtr^2;\ x^2<\exp(\sin y)+ 12\right\},\quad\quad G=\{(x,y)\in\mtr^2; -1<\ln (x^2+1)<1\}.$$
Exercice 22
- Continuité et équation fonctionnelle [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé, et $h:E\to E$ une application continue admettant une limite $\ell$ en $0$ et vérifiant $h(x)=h(x/2)$ pour tout $x\in E$. Démontrer que $h$ est constante.
Enoncé 

Soient $A$ et $B$ deux fermés d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$.
- Démontrer que $A\cap B=\varnothing\iff \forall x\in E,\ d(x,A)+d(x,B)>0$.
- On suppose que $A$ et $B$ sont disjoints. Démontrer qu'il existe $f:E\to \mathbb R$ continue telle que $f_{|A}=0$ et $f_{|B}=1$.
- En déduire qu'il existe deux ouverts $U$ et $V$ de $E$ tels que $A\subset U$, $B\subset V$ et $U\cap V=\varnothing$.
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction continue telle que
$$\forall x,y\in\mathbb R,\ f\left(\frac{x+y}2\right)=\frac{1}{2}\big(f(x)+f(y)\big).$$
- Démontrer que $\mathcal D=\{p/2^n;\ p\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\}$ est dense dans $\mathbb R$.
- Démontrer que si $f$ s'annule en 0 et en 1, alors $f=0$.
- Conclure que dans le cas général, $f$ est affine.
Exercice 25 

- Espace vectoriel des fonctions lipschitiziennes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $A$ une partie bornée d'un espace vectoriel normé $(E,\|\cdot\|)$. On note $\mathcal L$ l'espace vectoriel des applications lipschitziennes de $A$ dans $E$.
- Démontrer que les éléments de $\mathcal L$ sont des fonctions bornées.
- Pour $f\in\mathcal L$, on pose $$K_f=\{k\in\mathbb R_+;\ \forall (x,y)\in A^2,\ \|f(x)-f(y)\|\leq k\|x-y\|\}.$$ Démontrer que $K_f$ admet une borne inférieure. Dans la suite, on notera $C_f$ cette borne inférieure.
- Justifier que $C_f\in K_f$.
- Démontrer que si $f,g\in\mathcal L$, alors $C_{f+g}\leq C_f+C_g$.
- Pour $a\in A$, on note $N_a(f)=\|f(a)\|+C_f$. Démontrer que $N_a$ est une norme sur $\mathcal L$.
- Soient $a\neq b\in A$. Les normes $N_a$ et $N_b$ sont-elles équivalentes?
Exercice 26 

- Continuité uniforme en deux variables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

La fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R,\ (x,y)\mapsto xy$ est-elle uniformément continue?
Exercice 27 



- Une réciproque du théorème des valeurs intermédiaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ non réduit à un point et $f:I\to\mathbb R$. On dit que $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires
si pour tout $(a,b)\in I^2$ avec $a<b$ et pour tout réel $\lambda$ compris entre $f(a)$ et $f(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=\lambda$.
Démontrer que $f$ est continue sur $I$ si et seulement si $f$ vérifie la propriété des valeurs intermédiaires, et si pour tout $x\in I$,
$f^{-1}(\{f(x)\})$ est fermé dans $I$.
Limites et continuité en pratique
Enoncé 

- Montrer que si $x$ et $y$ sont des réels, on a : $$2|xy|\leq x^2+y^2$$
- Soit $f$ l'application de $A=\mtr^2\backslash\{(0,0)\}$ dans $\mtr$ définie par $$f(x,y)=\frac{3x^2+xy}{\sqrt{x^2+y^2}}.$$ Montrer que, pour tout $(x,y)$ de $A$, on a : $$|f(x,y)|\leq 4\|(x,y)\|_2,$$ où $\|(x,y)\|_2=\sqrt{x^2+y^2}.$ En déduire que $f$ admet une limite en $(0,0)$.
Enoncé 

Les fonctions suivantes ont-elles une limite en l'origine?
- $\dis f(x,y,z)=\frac{xy+yz}{x^2+2y^2+3z^2}$;
- $\dis f(x,y)=\left(\frac{x^2+y^2-1}{x}\sin x,\frac{\sin(x^2)+\sin(y^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\right)$.
- $\dis f(x,y)=\frac{1-\cos(xy)}{xy^2}$.
Enoncé 

Soient $\alpha,\beta>0$. Déterminer, suivant les valeurs de $\alpha$ et $\beta$, si la fonction
$$f(x,y)=\frac{x^\alpha y^\beta}{x^2+y^2}$$
admet une limite en $(0,0)$.
Enoncé 

Soit $f$ la fonction définie sur $\mtr^2$ par
$$f(x,y)=\frac{xy}{x^2+y^2}\textrm{ si }(x,y)\neq (0,0)\textrm{ et }f(0,0)=0.$$
La fonction $f$ est-elle continue en (0,0)?
Enoncé 

Démontrer que la fonction $f:\mathbb R^2\to\mathbb R$ définie par
$$f(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
2x^2+y^2-1&\textrm{ si }x^2+y^2>1\\
x^2&\textrm{ sinon }
\end{array}
\right.
$$ est continue sur $\mathbb R^2$.
Enoncé 

Démontrer que la fonction définie par $f(x,y)=\frac{\sin (xy)}{xy}$ se
prolonge en une fonction continue sur $\mathbb R^2$.
Enoncé 

Soit $f:\mathbb R\to\mathbb R$ une fonction de classe $C^1$. On définit $F:\mathbb R^2\to\mathbb R$ par
$$F(x,y)=\left\{
\begin{array}{ll}
\frac{f(x)-f(y)}{x-y}&\textrm{ si }x\neq y\\
f'(x)&\textrm{ sinon.}
\end{array}
\right.
$$
Démontrer que $F$ est continue sur $\mathbb R^2$.
Exercice 35 


- Application aux fonctions d'une variable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $C\subset\mathbb R^2$ une partie convexe et $f:C\to\mathbb R$ une fonction continue.
- Démontrer que $f(C)$ est un intervalle.
- Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $h:I\to\mathbb R$ une fonction continue et injective. Démontrer que $h$ est strictement monotone. On pourra utiliser la fonction $f(x,y)=h(x)-h(y)$.
Applications linéaires continues
Enoncé 

Soit $N_1$ et $N_2$ deux normes sur l'espace vectoriel $E$. Montrer que $N_1$ et $N_2$ sont équivalentes si et seulement si $Id:(E,N_1)\to (E,N_2)$ et $Id:(E,N_2)\to (E,N_1)$ sont continues.
Enoncé 

Déterminer si l'application linéaire $T:(E,N_1)\to (F,N_2)$ est continue dans les cas suivants :
- $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$ et $T:(E,\|.\|_1)\to (E,\|.\|_1),\ f\mapsto fg$ où $g\in E$ est fixé.
- $E=\mathbb R[X]$ muni de $\|\sum_{k\geq 0}a_k X^k\|=\sum_{k\geq 0}|a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
- $E=\mathbb R_n[X]$ muni de $\|\sum_{k=0}^n a_k X^k\|=\sum_{k=0}^n |a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
- $E=\mathbb R[X]$ muni de $\|\sum_{k\geq 0}a_k X^k\|=\sum_{k\geq 0}k!|a_k|$ et $T:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto P'$.
- $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_2=\left(\int_0^1 |f(t)|^2dt\right)^{1/2}$, $F=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$ muni de $\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt$ et $T:(E,\|.\|_2)\to (F,\|.\|_1),\ f\mapsto fg$ où $g\in E$ est fixé.
Enoncé 

Soit $E=\mathcal C([0,1],\mathbb R)$. Pour $f\in E$, on pose
$$\|f\|_1=\int_0^1 |f(t)|dt,$$
dont on admettra qu'il s'agit d'une norme sur $E$. Soit
$\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par
$$\phi(f)(x)=\int_0^x f(t)dt.$$
- Justifier la terminologie : "$\phi$ est un endomorphisme de $E$."
- Démontrer que $\phi$ est continue.
- Pour $n\geq 0$, on considère $f_n$ l'élément de $E$ défini par $f_n(x)=ne^{-nx}$, $x\in[0,1]$. Calculer $\|f_n\|_1$ et $\|\phi(f_n)\|_1$.
- On pose $\|\!|\phi\|\!|=\sup_{f\neq 0_E}\frac{\|\phi(f)\|_1}{\|f\|_1}$. Déterminer $\|\!|\phi\|\!|$.
Exercice 39 

- Applications linéaires sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $E=\mathbb R[X]$, muni de la norme $\|\sum_i a_i X^i\|=\sum_i |a_i|$.
- Est-ce que l'application linéaire $\phi:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P(X)\mapsto P(X+1)$ est continue sur $E$?
- Est-ce que l'application linéaire $\psi:(E,\|.\|)\to (E,\|.\|)$, $P\mapsto AP$, où $A$ est un élément fixé de $E$, est continue sur $E$?
Enoncé 

Soit $E=\mathcal C^{\infty}([0,1],\mathbb R)$. On considère l'opérateur de dérivation $D:E\to E$, $f\mapsto f'$.
Montrer que, quelle que soit la norme $N$ dont on munit $E$, $D$ n'est jamais une application linéaire continue
de $(E,N)$ dans $(E,N)$.
Enoncé 

Soit $E$ un espace préhilbertien muni de la norme associée au produit scalaire. Démontrer que l'orthogonal de toute partie $A$ de $E$ est un fermé de $E$.
Exercice 42 

- Espace vectoriel normé des séries absolument convergentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $E$ l'espace vectoriel des suites $(a_n)_{n\geq 1}$ de nombres complexes telle que $\sum_{n\geq 1}|a_n|$ converge. On pose, pour $a=(a_n)\in E$,
$$\|a\|=\sum_{n=1}^{+\infty}|a_n|.$$
- Démontrer que $\|\cdot\|$ définit une norme sur $E$.
- On pose $F=\{a\in E;\ \sum_{n\geq 1}a_n=1\}$. $F$ est-il ouvert? fermé? borné?
Exercice 43 
- Norme d'une application linéaire continue [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $\mathcal L_c(E)$ l'ensemble des applications linéaires continues sur $E$. Pour $u\in\mathcal L_c(E)$, on pose
$$\|u\|=\sup\{\|u(x)\|;\ \|x\|\leq 1\}.$$
- Démontrer que ceci définit une norme sur $\mathcal L_c(E)$.
- Démontrer que, pour tout $x\in E$ et tout $u\in\mathcal L_c(E)$, on a $$\|u(x)\|\leq \|u\|\times \|x\|.$$ En déduire que, pour tous $u,v\in \mathcal L_c(E)$, alors $\|u\circ v\|\leq \|u\|\times \|v\|.$
Exercice 44 

- Caractérisation de la continuité des applications linéaires [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $u\in\mathcal L(E)$. Démontrer que $u$ est continue si et seulement si $\{x\in E;\ \|u(x)\|=1\}$ est fermé.
Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel normé et $u$ un endomorphisme de $E$ vérifiant, pour tout $x\in E$, $\|u(x)\|\leq \|x\|$. Pour tout $n\in\mathbb N$, on pose
$$v_n=\frac 1{n+1}\sum_{k=0}^n u^k.$$
- Simplifer $v_n\circ(u-Id)$.
- Montrer que $\ker(u-Id)\cap\textrm{Im}(u-Id)=\{0\}$.
- On suppose désormais que $E$ est de dimension finie. Démontrer que $$\ker(u-Id)\oplus\textrm{Im}(u-Id)=E.$$
- Soit $p$ la projection sur $\ker(u-Id)$ parallèlement à $\textrm{Im}(u-Id)$. Démontrer que, pour tout $x\in E$, $v_n(x)\to p(x)$.