Math spé : Exercices sur la réduction d'endomorphismes
Enoncé 

- En dimension finie, un endomorphisme admet un nombre fini de vecteurs propres.
- Si $A$ est diagonalisable, alors $A^2$ est diagonalisable.
- Si $A^2$ est diagonalisable, alors $A$ est diagonalisable.
- Tout endomorphisme d'un espace vectoriel réel de dimension impaire admet au moins une valeur propre.
- La somme de deux matrices diagonalisables est diagonalisable.
Valeurs propres, vecteurs propres, sous-espaces stables
Enoncé 

Soit $E=\mathcal C^{\infty}(\mathbb R)$ et $D$ l'endomorphisme de $E$ qui à $f$ associe $f'$. Déterminer les valeurs propres de $D$ et les sous-espaces propres associés.
Enoncé 

Soit $E=\mathbb C^\mathbb N$ l'espace des suites à coefficients complexes, et $\phi$ l'endomorphisme de $E$ qui à une suite $(u_n)$ associe la suite $(v_n)$ définie par $v_0=u_0$ et pour tout $n\geq 1$,
$$v_n=\frac{u_n+u_{n-1}}2.$$
Déterminer les valeurs propres et les vecteurs propres de $\phi$.
Exercice 4 
- Sous-espaces stables et endomorphismes qui commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel et $u,v$ deux endomorphismes de $E$.
- Démontrer que si $u\circ v=v\circ u$, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$. La réciproque est-elle vraie?
- On suppose désormais que $u$ est un projecteur. Démontrer que $u\circ v=v\circ u$ si et seulement si $\ker(u)$ et $\textrm{Im}(u)$ sont stables par $v$.
Exercice 5 
- Une CNS pour que deux endomorphismes commutent [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soient $f,g$ deux endomorphismes du $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie tels que $f$ est diagonalisable. Démontrer que $f$ et $g$ commutent si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
Enoncé 

Soient $u$ et $v$ deux endomorphismes d'un $\mathbb C$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On suppose que $u$ et $v$ commutent. Démontrer que $u$ et $v$ ont un vecteur propre commun.
Diagonalisation de matrices
Enoncé 

Diagonaliser les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0&2&-1\\
3&-2&0\\
-2&2&1
\end{array}\right),\textrm{ } B=\left(\begin{array}{ccc}
0&3&2\\
-2&5&2\\
2&-3&0
\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&0\\
1&-1&2
\end{array}\right).$$
On donnera aussi la matrice de passage de la base canonique à la base de vecteurs propres.
Enoncé 

Expliquer sans calculs pourquoi la matrice suivante n'est pas diagonalisable :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
\pi&1&2\\
0&\pi&3\\
0&0&\pi
\end{array}\right).$$
Enoncé 

Soit $m$ un nombre réel et $f$ l'endomorphisme de $\mathbb R^3$
dont la matrice dans la base canonique est
$$A=\left(\begin{array}{rcl}
1&0&1\\
-1&2&1\\
2-m&m-2&m
\end{array}\right).$$
- Quelles sont les valeurs propres de $f$?
- Pour quelles valeurs de $m$ l'endomorphisme est-il diagonalisable?
- On suppose $m=2$. Calculer $A^k$ pour tout $k\in\mathbb N$.
Enoncé 

Parmi les matrices élémentaires $E_{i,j}$, lesquelles sont diagonalisables???
Enoncé 

Soit $A=\left(\begin{array}{cccc}
1&1&1&1\\
2&2&2&2\\
3&3&3&3\\
4&4&4&4
\end{array}\right)$.
- Déterminer, sans calculer le polynôme caractéristique, les valeurs propres de $A$. $A$ est-elle diagonalisable?
- Plus généralement, donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une matrice de rang 1 soit diagonalisable.
Enoncé 

- Soit $A=\left(\begin{array}{cc}0&a\\b&0\end{array}\right)$ dans $\mathcal M_2(\mathbb R)$. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable.
- Soient $p\geq 1$ et $\alpha_1,\dots,\alpha_{2p}$ des réels. Soit $A=(a_{i,j})\in\mathcal M_{2p}(\mathbb R)$ tel que $a_{i,2p+1-i}=\alpha_i$ si $1\leq i\leq 2p$ et $a_{i,j}=0$ sinon. Donner une condition nécessaire et suffisante pour que $A$ soit diagonalisable sur $\mathbb R$.
Enoncé 

Soient $a,b\in\mathbb R$ tels que $|a|\neq |b|$. On considère la matrice carrée de taille $2n$
$$A=\left(\begin{array}{ccccc}
a&b&a&b&\dots\\
b&a&b&a&\dots\\
a&b&a&b&\dots\\
b&a&b&a&\dots\\
\vdots&\vdots&\vdots&\vdots&\ddots
\end{array}\right).$$
- Calculer le rang de $A$. En déduire que si $n>1$, alors $0$ est valeur propre de $A$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
- Déterminer deux vecteurs propres associés à deux autres valeurs propres, et en déduire que $A$ est diagonalisable.
Enoncé 

Soit, pour $n\geq 1$, la matrice $M_n$ de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ dont les coefficients diagonaux
sont égaux à $1,2,\dots,n$ et les autres coefficients sont tous égaux à 1. Soit $P_n$ le polynôme caractéristique de
$M_n$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 2$, $P_{n}(X)=(X-(n-1))P_{n-1}(X)-X(X-1)\dots(X-(n-2))$.
- Démontrer que, pour tout $n\geq 1$ et tout $k\in\{0,\dots,n-1\}$, $(-1)^{n+k} P_n(k)>0$.
- En déduire que $M_n$ est diagonalisable et que chaque intervalle $]0,1[$, $]1,2[,\dots,]n-1,+\infty[$ contient exactement une valeur propre de $M_n$.
Enoncé 

Pour $n\geq 1$, soit
$$A_n=\left(\begin{array}{ccccc}
0&1&0&\dots&0\\
1&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\ddots&1\\
0&\dots&0&1&0
\end{array}\right)$$
et $P_n(x)=\det(xI_n-A_n)$ son polynôme caractéristique.
- Démontrer que pour tout $n\geq 2$, on a $$P_n(x)=xP_{n-1}(x)-P_{n-2}(x).$$ Calculer $P_1$ et $P_2$.
- Pour tout $x\in ]-2,2[$, on pose $x=2\cos \alpha$ avec $\alpha\in ]0,\pi[$. Démontrer que $$P_n(x)=\frac{\sin((n+1)\alpha)}{\sin\alpha}.$$
- En déduire que $A_n$ est diagonalisable.
Enoncé 

On considère, pour $n\geq 4$, la matrice $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}$ telle que $a_{i,j}=1$ si $i=1$ ou $i=n$ ou $j=1$ ou $j=n$, et $a_{i,j}=0$ sinon.
Démontrer que $A$ est diagonalisable.
Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ une matrice diagonalisable et
$B=\left(\begin{array}{c|c}0&A \\\hline I_n&0\end{array}\right)\in\mathcal M_{2n}(\mathbb C)$.
Donner les valeurs propres de $B$ et la dimension des sous-espaces propres correspondants.
\`A quelle condition $B$ est-elle diagonalisable?
Application de la diagonalisation
Enoncé 

Soit $A$ la matrice suivante :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
3&0&-1\\
2&4&2\\
-1&0&3
\end{array}
\right).$$
Démontrer que $A$ est diagonalisable et donner une matrice $P$ inversible et une matrice $D$ diagonale telles que $A=PDP^{-1}$. En déduire la valeur de $A^n$ pour tout $n\in\mathbb N$.
Enoncé 

Soit $A=\left(\begin{array}{cc}
-5&3\\
6&-2
\end{array}\right).$
Montrer que $A$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres. En déduire qu'il existe une matrice $B$ telle que
$B^3=A$.
Exercice 20 
- Application à des suites récurrentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $A$ la matrice
$\left(\begin{array}{ccc}
-4&-6&0\\
3&5&0\\
3&6&5\end{array}\right)$.
- Diagonaliser $A$.
- Calculer $A^n$ en fonction de $n$.
- On considère les suites $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ définies par leur premier terme $u_0$, $v_0$ et $w_0$ et les relations suivantes : $$\left\{ \begin{array}{rcl} u_{n+1}&=&-4u_n-6v_n\\ v_{n+1}&=&3u_n+5v_n\\ w_{n+1}&=&3u_n+6v_n+5w_n \end{array} \right.$$ pour $n\geq 0$. On pose $X_n=\left( \begin{array}{c}u_n\\v_n\\w_n\end{array}\right)$. Exprimer $X_{n+1}$ en fonction de $A$ et $X_n$. En déduire $u_n$, $v_n$ et $w_n$ en fonction de $n$.
Enoncé 

Soit $A$ la matrice
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&-1\\
1&2&1\\
2&2&3
\end{array}\right).$$
- Diagonaliser $A$.
- En déduire toutes les matrices $M$ qui commutent avec $A$.
Enoncé 

Les matrices
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
0&0&4\\
1&0&-8\\
0&1&5
\end{array}\right)\textrm{ et }
B=\left(\begin{array}{ccc}
2&1&1\\
0&0&-2\\
0&1&3
\end{array}\right)$$
sont-elles semblables?
Exercice 23 


- Application au calcul d'un déterminant circulant [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soient $a_0,\dots,a_{n-1}$ des nombres complexes, et soient $A,J$ les matrices de $\mathcal M_n(\mathbb C)$ définies par
$$A=\left(
\begin{array}{cccc}
a_0&a_1&\dots&a_{n-1}\\
a_{n-1}&\ddots&\ddots&\vdots\\
\vdots&\ddots&\ddots&a_1\\
a_1&\dots&a_{n-1}&a_0
\end{array}\right),\
J=\left(
\begin{array}{cccc}
0&1&0&\dots\\
\vdots&\ddots&\ddots&\vdots\\
0&\ddots&\ddots&1\\
1&0&\dots&0
\end{array}\right).$$
- Démontrer que $J$ est diagonalisable et calculer ses valeurs propres.
- Déterminer un polynôme $Q$ tel que $A=Q(J)$.
- En déduire le déterminant de $A$.
Trigonalisation de matrices
Enoncé 

On considère la matrice
$$A=\left(
\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&0&-1\\
0&1&2
\end{array}\right).$$
A est-elle diagonalisable? Montrer que $A$ est semblable à la matrice
$$B=\left(\begin{array}{ccc}
1&0&0\\
0&1&1\\
0&0&1
\end{array}\right).$$
Exercice 25
- Trigonalisation - sans indications [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]

Enoncé 

Trigonaliser les matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{ccc}
1&4&-2\\
0&6&-3\\
-1&4&0
\end{array}\right),\
B=\left(\begin{array}{ccc}
2&-1&-1\\
2&1&-2\\
3&-1&-2
\end{array}\right).$$
Réduction d'autres endomorphismes
Exercice 26 
- Un endomorphisme sur les polynômes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soit $\phi$ l'endomorphisme de $E$ défini par $\phi( P)= P-(X+1)P'$.
Justifier que $\phi$ est diagonalisable et donner les valeurs propres de $\phi$.
Enoncé 

Soit $L$ l'endomorphisme de $\mathbb R_n[X]$ défini par $L(P)=X^n P\left(\frac 1X\right)$. Démontrer que $L$ est un endomorphisme diagonalisable de $\mathbb R_n[X]$, déterminer ses valeurs propres et une base de vecteurs propres associés.
Enoncé 

Soit $n\geq 1$ et $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tels que $AB-BA=A$. Le but de l'exercice est de démontrer
que $A$ est nilpotente, c'est-à-dire qu'il existe $k\geq 1$ tel que $A^k=0$.
- Montrer que, pour tout $k\geq 0$, on a $A^k B-BA^k=kA^k$.
- On considère \begin{eqnarray*} \phi_B:\mathcal M_n(\mathbb R)&\to&\mathcal M_n(\mathbb R)\\ M&\mapsto&MB-BM. \end{eqnarray*} Vérifier que $\phi_B$ est un endomorphisme de $\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- Justifier que si $A^k\neq 0$, alors $k$ est une valeur propre de $\phi_B$.
- En déduire l'existence d'un entier $k>0$ tel que $A^k=0$.
Enoncé 

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$. On considère l'endomorphisme $\phi$ de $\mathcal L(E)$ défini par $\phi(g)=f\circ g$.
- Démontrer que toute valeur propre de $f$ est une valeur propre de $\phi$ puis, si $\lambda$ est une valeur propre de $f$, déterminer $E_{\lambda}(\phi)$.
- En déduire que si $f$ est diagonalisable, alors $\phi$ est diagonalisable.
Enoncé 

Soit $E=\mathbb R_n[X]$ et soient $A,B$ deux éléments de $E$ premiers entre eux tels qu'en outre $B$ est scindé à racines simples. On notera $x_1,\dots,x_p$ ses racines. On note $\phi$ l'application de $E$ dans lui-même qui à un polynôme $P$ associe le reste de $AP$ dans la division euclidienne par $B$.
- Démontrer que $\phi$ est un endomorphisme de $E$. Est-ce un isomorphisme?
- Démontrer que $0$ est une valeur propre de $\phi$ et déterminer le sous-espace propre associé.
- Démontrer que, pour chaque $k=1,\dots,p$, $P_k(X)=\prod_{j\neq k}(X-x_j)$ est un vecteur propre de $\phi$.
- En déduire que $\phi$ est diagonalisable.
Diagonalisation - en théorie
Exercice 31 
- $f\circ g$ et $g\circ f$ diagonalisables? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $E$ un $\mathbb C$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $f,g\in\mathcal L(E)$.
On souhaite étudier si le fait que $f\circ g$ est diagonalisable entraîne que $g\circ f$ est diagonalisable. On fixe $\mathcal B$ une base de $E$ et on désigne par $A$ (resp. $B$) la matrice de $f$ (resp. $g$) dans cette base.
- Dans cette question, on suppose $f$ et $g$ inversibles.
- En utilisant $\det(BAB-\lambda B)$, démontrer que $AB$ et $BA$ ont le même polynôme caractéristique.
- Soit $\lambda$ une valeur propre de $f\circ g$, et soit $E_\lambda$ (resp. $F_\lambda$) l'espace propre de $f\circ g$ (resp. de $g\circ f$) associé à $\lambda$. Démontrer les inclusions $$g(E_\lambda)\subset F_\lambda\textrm{ et }f(F_\lambda)\subset E_\lambda.$$
- Que peut-on en déduire sur les dimensions des espaces $E_\lambda$ et $F_\lambda$?
- Montrer que si $f\circ g$ est diagonalisable, alors $g\circ f$ est diagonalisable.
- Dans cette question, on suppose maintenant $f$ et $g$ quelconques.
- Montrer que si $f\circ g$ a une valeur propre nulle, il en est de même de $g\circ f$.
- Soit $\alpha\in\mathbb C\backslash\{0\}$ tel que $AB-\alpha I$ est inversible. On note $C$ son inverse. Vérifier que $$(BA-\alpha I)(BCA-I)=\alpha I.$$ Que peut-on en déduire pour $\det(BA-\alpha I)$?
- Déduire de ce qui précède que $f\circ g$ et $g\circ f$ ont les mêmes valeurs propres.
- Donner un exemple simple de matrices $A$ et $B$ tel que $AB$ est diagonalisable, et $BA$ n'est pas diagonalisable.
Exercice 32 

- Base de matrices diagonalisables... [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Existe-t-il une base de $\mathcal M_n(\mathbb R)$ constituée de matrices diagonalisables dans
$\mathbb R$?
Enoncé 

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie.
- Soient $u,v\in\mathcal L(E)$ diagonalisables tels que $u\circ v=v\circ u$. Démontrer qu'il existe une base de $E$ dans laquelle les matrices de $u$ et $v$ sont simultanément diagonalisables.
- Plus généralement, soit $u_1,\dots,u_m$ une famille d'endomorphismes diagonalisables de $E$ commutant deux à deux, $m\geq 1$. Montrer qu'il existe une base de $E$ diagonalisant tous les $u_i$.
Exercice 34 


- Diagonalisation et sous-espaces stables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie sur $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et soit $u\in\mathcal
L(E)$. Démontrer que $u$ est diagonalisable si et seulement si tout sous-espace de $E$ possède un supplémentaire stable
par $u$.
Enoncé 

Soit $f$ un endomorphisme diagonalisable d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. On note $\mathcal C_f$ le sous-espace vectoriel des endomorphismes de $E$ commutant avec $f$.
- Démontrer que $g\in\mathcal C_f$ si et seulement si les sous-espaces propres de $f$ sont stables par $g$.
- En déduire que $\dim(\mathcal C_f)=\sum_{\lambda\in\textrm{sp}(f)}\textrm{mult}(\lambda)^2$, où $\textrm{mult}(\lambda)$ désigne la multiplicité de la valeur propre $\lambda$.
- On suppose en outre que les valeurs propres de $f$ sont simples. Démontrer que $(Id,f,\dots,f^{n-1})$ est une base de $\mathcal C_f$.
Autres réductions - Matrices semblables
Enoncé 

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie $n$ supérieure ou égale à 2. On suppose que $E$ et $\{0\}$ sont les seuls sous-espaces vectoriels de $E$ stables par $u$.
- $u$ possède-t-il des valeurs propres?
- Démontrer que pour tout $x\in E\backslash\{0_E\}$, la famille $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est une base de $E$.
- Montrer que la matrice de $u$ dans la base $(x,u(x),\dots,u^{n-1}(x))$ est indépendante du choix de $x$.
Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ non nulle tel que $A^2=0$ et soit $r$ le rang de $A$. Démontrer que $A$ est semblable à $\left(\begin{array}{cc}0&I_r\\0&0\end{array}\right)$.
Exercice 38 


- Réduction des endomorphismes anti-involutifs [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie, et $f$ un endomorphisme de $E$ vérifiant $f^2=-Id$.
- Donner un exemple de tel endomorphisme sur $\mtr^2$.
- Montrer que $f$ n'a pas de valeurs propres réelles. En déduire que la dimension de $E$ est paire.
- Montrer que, pour tout $x$ de $E$, $\vect(x,f(x))$ est stable par $f$.
- En déduire que si $\dim E=2n$, il existe des vecteurs $(e_1,\dots,e_n)$ tels que $(e_1,f(e_1),\dots,e_n,f(e_n))$ forme une base de $E$. Quelle est la matrice de $f$ dans cette base?
Exercice 39 


- Semblable sur $\mathbb R$ ou sur $\mathbb C$? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$. On suppose qu'il existe $P\in GL_n(\mathbb C)$ tel que $PAP^{-1}=B$. Démontrer qu'il existe $Q\in GL_n(\mathbb R)$ tel que $QAQ^{-1}=B$.
Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice de trace nulle. Montrer que $A$ est semblable à une matrice dont tous les éléments diagonaux sont nuls.
Endomorphismes nilpotents - Matrices nilpotentes
Enoncé 

Soit $n\geq 2$ et $A$ la matrice définie par $A=(a_{i,j})_{1\leq i,j\leq n}\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ où $a_{i,i+1}=1$ pour $i=1,\dots,n-1$, les autres coefficients étant tous nuls.
- La matrice $A$ est-elle diagonalisable?
- Existe-t-il $B\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ tel que $B^2=A$?
Exercice 42 

- Déterminant et matrices nilpotentes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $A\in GL_n(\mathbb C)$ et $N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$ nilpotente. On suppose que $AN=NA$. Démontrer que $\det(A+N)=\det(A)$.
Exercice 43 


- Tout hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$ contient une matrice inversible [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soit $H$ un hyperplan de $\mathcal M_n(\mathbb K)$, $n\geq 2$. Le but de l'exercice est de démontrer que $H$ contient une matrice inversible. On raisonne par l'absurde et on suppose que $H$ ne contient pas de matrices inversibles.
- Démontrer que $H$ contient toutes les matrices nilpotentes.
- Conclure.
Exercice 44 



- Matrices nilpotentes et trace des puissances [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $A$ est nilpotente si et seulement si, pour tout $p\geq 1$, on a $\textrm{Tr}(A^p)=0$.