Math spé : Exercices sur les polynômes d'endomorphismes
Enoncé 

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, et $u\in\mathcal L(E)$. Dire si les assertions suivantes sont vraies ou fausses :
- Si $F$ et $G$ sont deux sous-espaces supplémentaires de $E$ stables par $u$, alors $u$ est diagonalisable si et seulement si les deux endomorphismes induits $u_F$ et $u_G$ sont diagonalisables.
- Deux matrices semblables ont le même polynôme caractéristique et le même polynôme minimal.
- Si le polynôme caractéristique d'une matrice est égal à son polynôme minimal, alors la matrice est diagonalisable.
Polynôme annulateur
Enoncé 

Soit $M$ une matrice triangulaire par blocs $\left(\begin{array}{cc}
A&C\\
0&B
\end{array}\right)$ avec $A\in\mathcal M_p(\mathbb K)$ et $B\in\mathcal M_q(\mathbb K)$. On suppose que $P$ est un polynôme annulateur de $A$ et que $Q$ est un polynôme annulateur de $B$. Déterminer un polynôme annulateur de $M$.
Enoncé 

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie. Soit $P$ un polynôme annulateur de $u$. On suppose que $P=QR$, où $Q$ et $R$ sont premiers entre eux. Démontrer que $\textrm{Im}(R(u))=\ker(Q(u))$.
Exercice 4 
- Puissance d'une matrice et polynôme d'endomorphisme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $J\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ la matrice ne comportant que des $1$. Déterminer un polynôme annulateur pour $J$. En déduire la valeur de $J^k$ pour $k\geq 2$.
Enoncé 

Soient $E$ un $\mathbb R$-espace vectoriel et $u\in\mathcal L(E)$. Existe-t-il toujours un polynôme
annulateur de $u$ (autre que le polynôme nul)?
Exercice 6 

- Polynôme annulateur, image et somme [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soient $E$ un espace vectoriel réel de dimension finie
et $f\in\mathcal L(E)$. On suppose que $f$ possède un polynôme annulateur $P$
vérifiant $P(0)=0$ et $P'(0)\neq 0$. Montrer qu'on a alors
$\textrm{Im}(f)\oplus\ker(f)=E$.
Exercice 7 

- Polynômes annulateurs de $A$ et propriétés de $A$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $n\geq 1$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$.
- Démontrer que si $\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$, alors $\bar\omega$ est une valeur propre de $A$ de multiplicité $s$.
- On suppose que $A^3-3A-4I_n=0.$ Montrer que $A$ est de déterminant strictement positif.
- On suppose que $A^2+A+I_n=0$. Montrer que $n$ est pair.
- On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Montrer que le rang de $A$ est pair.
- On suppose que $A^3+A^2+A=0$. Démontrer que $\textrm{Tr}(A)\in\mathbb Z^-$.
Polynôme caractéristique
Exercice 8 
- Polynôme caractéristique évalué en une autre matrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

- Soient $M,N\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $MN$ est inversible si et seulement si $M$ et $N$ sont inversibles.
- Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb C)$. Démontrer que $$\chi_A(B)\in GL_n(\mathbb C)\iff \textrm{Sp}(A)\cap \textrm{Sp}(B)=\varnothing.$$
Enoncé 

- Démontrer qu'il existe $(a_{0},\ldots,a_{n-1})\in\mathbb C^{n}$ tel que : $$ \forall P \in\mathbb C_{n-1}[X],\quad P(X+n) + \sum_{k=0}^{n-1} a_{k}P(X+k)=0 $$
- Déterminer une telle famille.
Exercice 10 

- Les puissances sont triangulaires supérieures [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ une matrice inversible. Démontrer que $A$ est triangulaire supérieure si et seulement si, pour tout $k\geq 2$, $A^k$ est triangulaire supérieure. Le résultat subsiste-t-il si on ne suppose plus que $A$ est inversible?
Exercice 11 

- Endomorphisme sur un espace vectoriel réel [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $f$ un endomorphisme d'un $\mtr-$espace vectoriel $E$ de dimension finie. Montrer qu'il existe toujours une droite ou un plan de $E$ stable par $f$.
Enoncé 

Soient $n,p\geq 1$ et $A\in M_n(\mathbb C)$ tel que
$A^p=I_n$. Soit $\omega$ une racine $p$-ième de l'unité telle que
$\omega^{-1}$ n'est pas une valeur propre de $A$.
Montrer que $\sum_{k=0}^{p-1} \omega^kA^k=0$.
Exercice 13 


- Polynôme caractéristique de $AB$ et de $BA$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]




Enoncé 

Soient $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$. On souhaite prouver que $\chi_{AB}=\chi_{BA}$.
- Démontrer le résultat si $A$ ou $B$ est inversible.
- Dans le cas général, on considère les matrices de $\mathcal M_{2n}(\mathbb K)$ $$M=\left(\begin{array}{cc} BA&-B\\ 0&0 \end{array}\right),\ N=\left(\begin{array}{cc} 0&-B\\ 0&AB \end{array}\right),\ P=\left(\begin{array}{cc} I_n&0\\ A&I_n \end{array}\right).$$ Vérifier que $PN=MP$ et conclure.
Exercice 14 



- Polynôme caractéristique de la comatrice [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Soit $A\in\mnr$. Calculer le polynôme caractéristique de la comatrice de $A$.
Polynôme minimal
Enoncé 

Déterminer le polynôme minimal des matrices suivantes :
$$A=\left(\begin{array}{cc}
1&1\\
0&1
\end{array}\right),\
B=\left(\begin{array}{ccc}
1&1&1\\
1&1&1\\
1&1&1
\end{array}\right),\
C=\left(\begin{array}{ccc}
1&2&-2\\
2&1&-2\\
2&2&-3
\end{array}\right)\textrm{ et }
D=\left(\begin{array}{ccc}
3&0&8\\
3&-1&6\\
-2&0&-5
\end{array}\right).$$
Exercice 16 
- Polynôme minimal par reconstruction [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soient $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie, et soient $F,G$ deux sous-espaces de $E$ supplémentaires stables par $u$. On note $\pi_u$ le polynôme minimal de $u$, $\pi_F$ le polynôme minimal de $u_{|F}$ et $\pi_G$ le polynôme minimal de $u_{|G}$. Démontrer que
$$\pi_u=\textrm{ppcm}(\pi_F,\pi_G).$$
Exercice 17 
- Racines du polynôme minimal et valeurs propres [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]


Enoncé 

Soit $u$ un endomorphisme de $E$, $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que les valeurs propres de $u$ sont exactement les racines du polynôme minimal de $u$.
Exercice 18 

- $X^2+1$ est-il un polynôme minimal? [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Existe-t-il dans $\mathcal M_n(\mathbb R)$ une matrice dont le polynôme minimal est $X^2+1$?
Exercice 19 

- Inversibilité d'un polynôme en $u$ [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]



Enoncé 

Soit $u$ un endomorphisme d'un $\mathbb K$-espace vectoriel $E$ de dimension finie, et soit $\pi_u$ son polynôme minimal. Soit $P\in\mathbb K[X]$. Démontrer que $P(u)$ est inversible si et seulement si $P$ et $\pi_u$ sont premiers entre eux.
Enoncé 

Soit $M\in M_n(\mathbb C)$ et $p\geq 1$. Montrer que $M$ est diagonalisable
si et seulement si $M^p$ est diagonalisable et $\ker(M)=\ker(M^p)$. Le résultat subsiste-t-il si on travaille dans $\mathbb R$?
Enoncé 

Soit $E$ un $\mathbb K$-espace vectoriel de dimension finie et soit $f\in\mathcal L(E)$ diagonalisable. Démontrer que les assertions suivantes sont équivalentes :
- Les valeurs propres de $f$ sont simples.
- Il existe $x\in E$ tel que $\{x,f(x),\dots,f^{n-1}(x)\}$ soit une base de $E$.
- La famille $\{Id,f,\dots,f^{n-1}\}$ est libre.
Enoncé 

Déterminer les matrices $A\in\mathcal M_n(\mathbb R)$ telles que la matrice
$B=\left(\begin{array}{c|c}
A&A\\
\hline
0&A
\end{array}\right)$ soit diagonalisable.
Exercice 23 



- Facteurs irréductibles du polynôme minimal et du polynôme caractéristique [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]





Enoncé 

Soit $f$ un endomorphisme de $\mathbb R^n$, on note $\pi_f$ (resp. $\chi_f$) son polynôme minimal (resp. son polynôme caractéristique). Montrer que $\pi_f$ et $\chi_f$ ont les mêmes facteurs irréductibles.