$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Math spé : Exercices sur les familles sommables

Ensembles dénombrables
Enoncé
Les ensembles suivants sont-ils dénombrables?
  1. $\{2^n;\ n\geq 0\}$;
  2. $\mathbb N\times \mathbb R$;
  3. $\mathbb Q[\sqrt 2]=\{a+b\sqrt 2;\ a,b\in\mathbb Q\}$;
  4. l'ensemble des nombres premiers;
  5. l'ensemble des fonctions de $\mathbb R$ dans $\mathbb R$.
Corrigé
Exercice 2 - Ensemble des fonctions de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(f_n)$ une suite d'applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$. Soit $f:\mathbb N\to\mathbb N$ définie par : par tout $n\in\mathbb N$, $f(n)=f_n(n)+1$. Démontrer que pour tout entier $p$, on a $f_p\neq f$. En déduire que l'ensemble des applications de $\mathbb N$ dans $\mathbb N$ n'est pas dénombrable.
Corrigé
Exercice 3 - Certaines suites d'entiers [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Une suite d'entiers $(n_k)$ est dite
  • presque nulle s'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $k\geq p$, $n_k=0$.
  • stationnaire s'il existe un entier $p\in\mathbb N$ tel que, pour tout $k\geq p$, $n_k=n_p$.
Démontrer que l'ensemble des suites d'entiers presque nulles et que l'ensemble des suites d'entiers stationnaires sont dénombrables.
Indication
Corrigé
Exercice 4 - Points de discontinuité d'une fonction monotone [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $f:[a,b]\to\mathbb R$ une fonction croissante. Pour $x\in ]a,b[$, on pose $\delta(x)=\lim_{y\to x^+}f(y)-\lim_{y\to x^-}f(y)$ (c'est le "saut" de $f$ en $x$).
  1. Pour $n\in\mathbb N^*$, démontrer que $E_n=\{x\in ]a,b[;\ \delta(x)>1/n\}$ est fini.
  2. En déduire que l'ensemble des points de discontinuité de $f$ est au plus dénombrable.
  3. Généraliser ce résultat au cas où $f$ est définie sur $\mathbb R$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On dit qu'un réel $x$ est un nombre algébrique s'il existe $d\in\mathbb N^*$ et des entiers relatifs $a_0,\dots,a_d$ avec $a_d\neq 0$ tels que $$a_d x^d+\dots+a_1x+a_0=0.$$ Le plus entier $d$ vérifiant cette propriété est alors le degré de $x$.
  1. Quels sont les nombres algébriques de degré $1$?
  2. Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques de degré $d$ est au plus dénombrable.
  3. Démontrer que l'ensemble des nombres algébriques est dénombrable.
Indication
Corrigé
Exercice 6 - Ensemble des parties de $\mathbb N$. [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Démontrer que l'ensemble des parties finies de $\mathbb N$ est dénombrable.
  2. On suppose que l'ensemble des parties de $\mathbb N$ est dénombrable et on note $f:\mathbb N\to\mathcal P(\mathbb N)$ une bijection. En considérant $A=\{n\in\mathbb N;\ n\notin f(n)\}$, trouver une contradiction.
Corrigé
Exercice 7 - $[0,1]$ n'est pas dénombrable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Calculer $\sum_{n\geq 0}\frac 1{2^{n+1}}$.
  2. Soit $(u_n)$ une suite de $[0,1]$. Montrer que, pour tout $n\geq 1$, il existe un élément $x_n$ dans $[0,1]\backslash \bigcup_{k=0}^n \left[u_k-\frac1{2^{k+2}},u_k+\frac 1{2^{k+2}}\right]$.
  3. Pourquoi peut-on extraire de la suite $(x_n)$ une sous-suite convergente vers $\ell\in [0,1]$?
  4. Démontrer que $[0,1]$ n'est pas dénombrable.
Indication
Corrigé
Enoncé
Soit $(I_\alpha)_{\alpha\in A}$ une famille d'intervalles ouverts non-vides deux à deux disjoints. Démontrer que $A$ est nécessairement au plus dénombrable.
Indication
Corrigé
Familles sommables
Exercice 9 - Un exemple simple de famille sommable [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que pour $|q|<1$, la famille $(q^{|n|})_{n\in\mathbb Z}$ est sommable, et déterminer sa somme.
Indication
Corrigé
Exercice 10 - Exemples de familles non sommables [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Démontrer que les familles suivantes ne sont pas sommables :
  1. $\left(\frac{1}{x^2}\right)_{x\in \mathbb Q\cap [1,+\infty[}$;
  2. $(a_{n,p})_{(n,p)\in\mathbb N^2}$, $a_{n,p}=\frac{1}{n^2-p^2}$ si $n\neq p$ et $a_{n,n}=0$.
Indication
Corrigé
Enoncé
On pose, pour $(m,n)\in\mathbb N^*\times \mathbb N^*$, $a_{m,n}=\frac{1}{(m+n)^\alpha}$ où $\alpha\in\mathbb R$ est un paramètre donné. Étudier la sommabilité de la famille $(a_{m,n})_{(m,n)\in \mathbb N^*\times\mathbb N^*}$.
Indication
Corrigé
Exercice 12 - Sommabilité par permutation des sommes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $(a_p)_{p\geq 1}$ une suite de nombres complexes telle que la série $\sum_p a_p$ est absolument convergente. On pose $I=\mathbb N^*\times \mathbb N^*$ et pour $(n,p)\in I$, on pose $u_{n,p}=\frac{p}{n(n+1)}a_p$ si $p\leq n$, $u_{n,p}=0$ sinon. Démontrer que la famille $(u_{n,p})_{(n,p)\in I}$ est sommable et calculer sa somme.
Indication
Corrigé
Enoncé
Démontrer l'existence et calculer $\sum_{(p,q)\in\mathbb N\times\mathbb N^*}\frac{1}{(p+q^2)(p+q^2+1)}$.
Indication
Corrigé
Exercice 14 - Série des restes des factorielles [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Calculer $\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n}^{+\infty}\frac{1}{k!}.$
Indication
Corrigé
Exercice 15 - Série des restes de la série de Riemann [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
  1. Déterminer, pour $\alpha>1$, un équivalent de $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^\alpha}$.
  2. En déduire les valeurs de $\alpha\in\mathbb R$ pour lesquelles $\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^\alpha}$ converge.
  3. Retrouver ce résultat d'une autre façon, en démontrant de plus que pour ces valeurs de $\alpha$, $$\sum_{n=0}^{+\infty}\sum_{k=n+1}^{+\infty}\frac 1{k^\alpha}=\sum_{p\geq 1}\frac 1{p^{\alpha-1}}.$$
Indication
Corrigé
Exercice 16 - Réorganisation des termes [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soit $x\in ]-1,1[$.
  1. Démontrer que la famille $(x^{kl})_{(k,l)\in(\mathbb N^*)^2}$ est sommable.
  2. En déduire que $$\sum_{k=1}^{+\infty}\frac{x^k}{1-x^k}=\sum_{n=1}^{+\infty}d(n)x^n$$ où $d(n)$ est le nombre de diviseurs positifs de $n$.
Indication
Corrigé
Exercice 17 - Produit de convolution [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
On note $\ell^1(\mathbb Z)$ l'ensemble des familles de nombres complexes $u=(u_n)_{n\in\mathbb Z}$ qui sont sommables. On définit sur $\ell^1(\mathbb Z)$ une norme en posant $\|u\|$ la somme de la famille $(|u_n|)_{n\in\mathbb Z}$.
  1. Soit $u,v\in\ell^1(\mathbb Z)$. Démontrer que, pour tout $n\in\mathbb Z$, la famille $(u_kv_{n-k})_{k\in\mathbb Z}$ est sommable.
  2. Pour $u,v\in\ell^1(\mathbb Z)$, on définit la famille $u\star v$ par $(u\star v)_n=\sum_{k\in\mathbb Z}u_k v_{n-k}$ où $n\in\mathbb Z$. Démontrer que $u\star v\in\ell^1(\mathbb Z)$, puis calculer $N(u\star v)$ en fonction de $N(u)$ et de $N(v)$.
  3. Démontrer que la loi $\star$ agissant sur $\ell^1(\mathbb Z)$ est une loi associative, commutative, et possédant un élément neutre.
  4. On définit $u\in\ell^1(\mathbb Z)$ par $u_0=1$, $u_1=-1$ et $u_n=0$ sinon. Démontrer que $u$ n'est pas inversible dans $\ell^1(\mathbb Z)$ pour $\star$.
Indication
Corrigé
Produit de Cauchy
Exercice 18 - Somme d'une série et produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Soient $(a,b)\in\mathbb C^2$ tels que $|a|<1$ et $|b|<1$. Prouver que $$\left\{ \begin{array}{rcll} \displaystyle \frac{1}{(1-a)(1-b)}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}\frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b}&\textrm{ si }a\neq b, \\ \displaystyle\frac{1}{(1-a)^2}&=&\displaystyle\sum_{n=0}^{+\infty}{(n+1)a^n}&\textrm{ si }a=b. \end{array}\right.$$
Indication
Corrigé
Exercice 19 - Somme d'une série par produit de Cauchy [Signaler une erreur] [Ajouter à ma feuille d'exos]
Enoncé
Pour $n\geq 0$, on pose $w_n=2^{-n}\sum_{k=0}^n \frac{4^k}{k!}$.
  1. Montrer que la série de terme général $w_n$ converge.
  2. Calculer sa somme en utilisant le produit d'une série géométrique par une autre série classique.
Indication
Corrigé