Résumé de cours : fonctions vectorielles, arcs paramétrés

$E,F,G$ désignent des espaces vectoriels réels de dimension finie de dimension $n$, et $I$ un intervalle de $\mathbb R$ non réduit à un point.

Dérivabilité

On dit que la fonction $f:I\to\mathbb E$ est dérivable en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite quand $h$ tend vers $0$. Dans ce cas, la limite est notée $f'(a)$ et s'appelle vecteur dérivé de $f$ en $a$.
Une fonction $f:I\to\mathbb E$ est dérivable en $a$ si et seulement s'il existe $\alpha\in E$ et une fonction $\veps$ définie dans un intervalle $J$ ouvert contenant $0$, vérifiant $\lim_{h\to 0}\veps(h)=0$ tels que $$\forall h\in J,\ f(a+h)=f(a)+h \alpha +h\veps(h).$$
Si $f=(f_1,\dots,f_n)$, alors $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si chaque $f_i$ est dérivable en $a$. Dans ce cas, on a $f'(a)=\big(f_1'(a),\dots,f_n'(a)\big)$.
On dit que la fonction $f:I\to\mathbb E$ est dérivable à droite en $a\in I$ si le taux d'accroissement $\displaystyle \frac{f(a+h)-f(a)}{h}$ admet une limite quand $h$ tend vers $0^+$. On définit de même la dérivabilité à gauche, et on sait que $f$ est dérivable en $a$ si et seulement si $f$ est dérivable à droite et à gauche en $a$.
On dit que $f$ est dérivable sur $I$ si $f$ est dérivable en tout point de $I$. $f'$ s'appelle alors la fonction dérivée de $f$.

Opérations sur les fonctions dérivables

Combinaison linéaire : Soient $f,g:I\to E$ dérivables. Pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $\lambda f+g$ est dérivable et $(\lambda f+g)'=\lambda f'+g'$.
Composée par une application linéaire : Soit $f:I\to E$ dérivable et $L:E\to F$ linéaire. Alors $L\circ f$ est dérivable et $(L\circ f)'=L\circ f'$.
Composée par une application bilinéaire : Soit $f:I\to E$, $g:I\to F$ dérivables et $B:E\times F\to G$ bilinéaire. Alors $B(f,g):t\mapsto B\big(f(t),g(t)\big)$ est dérivable et $\big(B(f,g)\big)'=B(f',g)+B(f,g')$.
Composée par le produit scalaire : En particulier, si $E$ est un espace vectoriel euclidien muni du produit scalaire $\langle \cdot,\cdot\rangle$, si $f,g:I\to E$ sont dérivables, alors la fonction $u:I\to \mathbb R,\ t\mapsto \langle f(t),g(t)\rangle$ est dérivable sur $I$ et $u'(t)=\langle f'(t),g(t)\rangle+\langle f(t),g'(t)\rangle$.
Composée : Si $J$ est un intervalle de $\mathbb R$, $\varphi:J\to I$ est dérivable et $f:I\to\mathbb E$, alors $f\circ \varphi:J\to\mathbb R$ est dérivable et $(f\circ \varphi)'=\varphi' \cdot f'\circ \varphi$.

Dérivées successives

Soit $f:I\to\mathbb E$ une fonction dérivable. Sa dérivée $f'$ peut elle-même être dérivable. On appelle alors cette dérivée la dérivée seconde de $f$ et on la note $f''$. En itérant ce procédé, on peut définir la dérivée $n$-ième de $f$, notée $f^{(n)}$.
On dit que $f$ est de classe $C^n$ sur $I$ si elle admet une dérivée d'ordre $n$ notée $f^{(n)}$ et si cette dérivée est elle-même continue sur $I$. On dit que $f$ est de classe $C^\infty$ sur $I$ si elle admet des dérivées successives de tout ordre.
La plupart des résultats valables pour la dérivée d'ordre 1 reste valable pour les dérivées d'ordre $n$. Par exemple :
- $f$ est de classe $\mathcal C^n$ si et seulement si toutes ses fonctions coordonnées sont de classe $\mathcal C^n$.
- la combinaison linéaire de deux applications de classe $\mathcal C^n$ est de classe $\mathcal C^n$.
- Formule de Leibniz : soit $f:I\to E$ et $g:I\to F$ deux applications de classe $\mathcal C^n$ et soit $B:E\times F\to G$ une application bilinéaire. Alors $B(f,g)$ est de classe $\mathcal C^n$ et \begin{eqnarray*} \big(B(f,g)\big)^{(n)}&=&\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}B\big(f^{(n-k)},g^{(k)}\big) \end{eqnarray*}
Théorème (inégalité des accroissements finis) : Soit $f:[a,b]\to E$ de classe $\mathcal C^1$. Alors $$\|f(b)-f(a)\|\leq (b-a)\sup_{t\in [a,b]}\|f'(t)\|.$$

Intégration des fonctions à valeurs vectorielles

On fixe $(e_1,\dots,e_n)$ une base de l'espace vectoriel $E$.

Une application $f=(f_1,\dots,f_n):[a,b]\to E$ est continue par morceaux si toutes ses applications coordonnées le sont.
Soit $f=(f_1,\dots,f_n):[a,b]\to E$ une application continue par morceaux. On appelle intégrale de $a$ à $b$ de $f$ le vecteur noté $\int_a^b f(t)dt$ et défini par $$\int_a^b f(t)dt=\sum_{j=1}^n \int_a^b f_j(t)dt.$$ Ce vecteur ne dépend pas de la base $(e_1,\dots,e_n)$ de $E$ fixée au préalable.
L'intégration vectorielle vérifie les deux propriétés suivantes, bien connues de l'intégration scalaire :
- linéarité de l'intégrale : pour toutes fonctions $f,g:[a,b]\to E$ continues par morceaux et pour tout $\lambda\in\mathbb R$, $$\int_a^b \big(\lambda f(t)+g(t)\big)dt=\lambda\int_a^b f(t)dt+\int_a^b g(t)dt.$$
- relation de Chasles : pour toute fonction $f:[a,b]\to E$ continue par morceaux et pour tout $c\in[a,b]$, on a $$\int_a^b f(t)dt=\int_a^c f(t)dt+\int_c^b f(t)dt.$$
Proposition : Pour toute fonction $f:[a,b]\to E$ continue par morceaux, on a $$\left\|\int_a^b f(t)dt\right\|\leq \int_a^b \|f(t)\|dt.$$
Théorème : Soit $f:[a,b]\to E$ continue par morceaux. Alors $$\frac {b-a}n\sum_{k=0}^{n-1}f\left(a+k\frac{b-a}n\right)\to\int_a^b f(t)dt.$$
Théorème : Soit $f:[a,b]\to\mathbb E$ continue. Alors la fonction $F:[a,b]\to E$, $x\mapsto \int_a^x f(t)dt$ est dérivable, et pour tout $x\in\mathbb R$, on a $F'(x)=f(x)$.

Formules de Taylor

Formule de Taylor avec reste intégral : Soit $f:[a,b]\to\mathbb E$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$f(b)=\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)+\int_a^b \frac{(b-t)^n}{n!}f^{(n+1)}(t)dt.$$
Inégalité de Taylor-Lagrange : Soit $f:[a,b]\to\mathbb E$ une fonction de classe $\mathcal C^{n+1}$. Alors $$\left| f(b)-\sum_{k=0}^{n}\frac{(b-a)^k}{k!}f^{(k)}(a)\right|\leq M_{n+1}\frac{|b-a|^{n+1}}{(n+1)!}$$ avec $M_{n+1}=\sup_{t\in [a,b]}\|f^{n+1}(t)\|$.
Formule de Taylor-Young : Soit $I$ un intervalle de $\mathbb R$, $a\in I$ et $f:I\to E$ de classe $\mathcal C^n$. Alors $f$ admet un développement limité à l'ordre $n$ en $a$ donné par $$f(a+h)=f(a)+f'(a) h+\dots+\frac{f^{(n)}(a)}{n!}h^n+h^n\veps(h)$$ où $\veps:I\to E$ vérifie $\lim_{h\to 0}\veps(h)=0_E$.

Arcs paramétrés

On appelle arc paramétré à valeurs dans $E$ la donnée d'un couple $(I,f)$ où $I$ est un intervalle et $f:I\to E$ est une fonction. L'arc est dit continue ou de classe $\mathcal C^k$ si $f$ l'est.
On appelle support de l'arc $(I,f)$ la partie $\Gamma$ de $E$ définie par $\Gamma=\{f(t);\ t\in I\}$.
Lorsque $E=\mathbb R^2$, on parle d'arc paramétré plan. Le support d'un tel arc est alors une courbe du plan.
On dit que l'arc paramétré $(I,f)$ admet une tangente au point $f(t_0)$ s'il existe un vecteur $\vec u_0$ tel que la droite $(f(t)f(t_0))$ admette un vecteur directeur $\vec u(t)$ qui tend vers $\vec u_0$ lorsque $t$ tend vers $t_0$. Cette condition impose en particulier que $f(t)\neq f(t_0)$ pour tout $t\neq t_0$ dans un voisinage de $t_0$.
En pratique, il suffit de considérer le vecteur directeur normalisé $\frac{f(t)-f(t_0)}{\|f(t)-f(t_0)\|}$ et d'étudier si ce vecteur admet une limite lorsque $t$ tend vers $t_0$.
Un arc paramétré de classe $\mathcal C^1$ est dit régulier en $t_0$ si $f'(t_0)\neq 0$. Il est dit régulier s'il est régulier en chacun de ses points.
Proposition : Soit $(I,f)$ un arc paramétré de classe $\mathcal C^1$ et soit $t_0$ un point régulier de $f$. Alors $(I,f)$ admet une tangente en $f(t_0)$ dirigée par $f'(t_0)$. En particulier, si $E=\mathbb R^2$ et si on écrit $f(t)=(x(t),y(t))$, alors l'équation de la tangente au point $f(t_0)=(x(t_0),y(t_0)$ est $$y'(t_0)\big(x-x(t_0)\big)-x'(t_0)\big(y-y(t_0)\big)=0.$$