$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Résumé de cours : Séries numériques

Généralités
  Soit $E$ un espace vectoriel de dimension finie munie d'une norme $\|\cdot\|$ et soit $(u_n)$ une suite de $E$.
  • On appelle somme partielle d'ordre $n$ de la série $\sum u_k$ le vecteur $$S_n=\sum_{k=0}^n u_k.$$
  • On dit que la série $\sum u_n$ converge si la suite de ses sommes partielles $(S_n)$ est convergente. On dit qu'elle diverge dans le cas contraire. Dans le cas de la convergence, on note $$\sum_{k=0}^{+\infty}u_k=\lim_{n\to+\infty}S_n.$$ Le vecteur $ \sum_{k=0}^{+\infty}u_n$ de $E$ s'appelle la somme de la série $\sum u_k$. Toujours dans le cas de la convergence, le reste de la série d'ordre $n$ est défini par $$R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k.$$
  • Proposition : Si la série $\sum_n u_n$ converge, alors $(\|u_n\|)$ tend vers 0.
  • Lien suite série : Si on pose, pour $n\geq 0$, $v_n=u_{n+1}-u_n$, alors $$\sum_{k=0}^n v_k=u_{n+1}-u_0.$$ En particulier, la suite $(u_n)$ converge si et seulement si la série $\sum_n (u_{n+1}-u_n)$ converge.
  • Théorème : Si la série (de réels positifs) $\sum_n \|u_n\|$ converge, alors la série $\sum_n u_n$ converge. On dit alors que la série est absolument convergente.
  • Remarque : si on a fixé une base $(e_1,\dots,e_d)$ de $E$, chaque $u_n$ peut s'écrire $u_n=u_n(1)e_1+\dots +u_n(d)e_d$. La convergence de $\sum_n u_n$ est alors équivalente à la convergence de toutes les séries de nombres complexes $\sum_n u_n(k)$, $k=1,\dots,d$.
Séries à termes positifs
  • Théorème : Une série à termes positifs converge si et seulement si la suite de ses sommes partielles est majorée.
  • Théorème (sommation des relations de comparaison) : Soit $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites de nombres réels positifs.
    • équivalence : Si $u_n\sim_{+\infty} v_n$, alors :
      • si $\sum_n v_n$ diverge, alors $\sum_n u_n$ diverge et on a $\sum_{k=1}^n u_k\sim \sum_{k=1}^n v_k$ (équivalence des sommes partielles).
      • si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge et on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k \sim_{+\infty} \sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k$ (équivalence des restes).
    • domination : Si $u_n=_{+\infty} O(v_n)$, alors :
      • si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge et on a $\sum_{k=1}^{n}u_k =_{+\infty}O\left( \sum_{k=1}^{n}v_k\right)$ (domination des sommes partielles).
      • si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge et on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k =_{+\infty}O\left( \sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k\right)$ (domination des restes).
    • négligeabilité : Si $u_n=_{+\infty} o(v_n)$, alors :
      • si $\sum_n u_n$ diverge, alors $\sum_n v_n$ diverge et on a $\sum_{k=1}^{n}u_k =_{+\infty}o\left( \sum_{k=1}^{n}v_k\right)$ (négligeabilité des sommes partielles).
      • si $\sum_n v_n$ converge, alors $\sum_n u_n$ converge et on a $\sum_{k=n+1}^{+\infty}u_k =_{+\infty}o\left( \sum_{k=n+1}^{+\infty}v_k\right)$ (négligeabilité des restes).
  • Pour appliquer le théorème précédent, on a besoin de séries de référence. On rappelle en particulier que $\sum_n \frac1{n^\alpha}$ converge si et seulement si $\alpha>1$.
  • Théorème (règle de d'Alembert) : Soit $(u_n)$ une suite de réels positifs. On suppose que $\frac{u_{n+1}}{u_n}\to\ell$. Alors :
    • si $\ell<1$, la série $\sum_n u_n$ converge;
    • si $\ell>1$, la série $\sum_n u_n$ diverge;
    • si $\ell=1$, on ne peut pas conclure.
Comparaison à une intégrale
  • Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb R$.
    • si $f$ est croissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n-1}^n f(t)dt\leq f(n)\leq \int_n^{n+1}f(t)dt.$$
    • si $f$ est décroissante, alors pour tout $n\geq 1$, $$\int_{n}^{n+1} f(t)dt\leq f(n)\leq \int_{n-1}^{n}f(t)dt.$$
    En sommant ces inégalités, on obtient des encadrements des sommes partielles et des restes des séries.
  • Théorème : Soit $f:[0,+\infty[\to\mathbb [0,+\infty[$ continue par morceaux et décroissante. Alors la série de terme général $\int_{n-1}^n f(t)dt-f(n)$ converge.
  • En particulier, sous les hypothèses précédentes, la série $\sum_n f(n)$ et l'intégrale impropre $\int_1^{+\infty}f(t)dt$ sont de même nature.
Critère des séries alternées
  • Critère des séries alternées : Soit $(a_n)$ une suite de réels positifs, décroissante, et tendant vers $0$. Alors la série $\sum_n (-1)^n a_n$ converge. De plus, si on note $S$ sa somme, $S_n=\sum_{k=0}^n (-1)^k a_k$ la somme partielle d'ordre $n$ et $R_n=\sum_{k=n+1}^{+\infty} (-1)^k a_k$ le reste d'ordre $n$, alors pour tout entier $n$, on a $S_{2n+1}\leq S\leq S_{2n}$, $|R_n|\leq a_{n+1}$ et $R_n$ est du signe de $(-1)^{n+1}$.