$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : Réduction des endomorphismes

$E$ désigne un $\mathbb K$-espace vectoriel, $\mathbb K$ étant le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Sous-espaces stables
  Soit $u,v\in\mathcal L(E)$ et soit $A,B\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit qu'un sous-espace $F$ de $E$ est stable par $u$ si $u(F)\subset F$. On peut alors définir un endomorphisme $u_F$ de $F$ en posant $u_F(x)=u(x)$ pour tout $x\in F$. $u_F$ s'appelle l'endomorphisme induit par $u$ sur $F$.
  • Proposition : si $u$ et $v$ commutent, alors $\textrm{Im}(u)$ et $\ker(u)$ sont stables par $v$.
  • Soit $F$ un sous-espace vectoriel de $E$ et soit $\mathcal B$ une base dont les premiers vecteurs forment une base de $F$. Alors la matrice de $u$ dans cette base a la forme $$\left(\begin{array}{c|c} A&B\\ \hline 0&C \end{array}\right)$$ si et seulement si $F$ est stable par $u$.
Éléments propres d'un endomorphisme et d'une matrice carrée
  • On dit que $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$ s'il existe un vecteur non-nul $x\in E$ tel que $u(x)=\lambda x$. $x$ s'appelle alors un vecteur propre associé à la valeur propre $\lambda$.
  • Si $\lambda\in\mathbb K$ est une valeur propre de $u$, le sous-espace propre associé à $\lambda$ est le sous-espace $E_\lambda=\ker(u-\lambda Id_E)$.
  • L'ensemble des valeurs propres de $u$ s'appelle le spectre de $u$ et est noté $\textrm{Sp}(u)$.
  • Théorème : Si $\lambda_1,\dots,\lambda_p$ sont des valeurs propres distinctes de $u$, alors les sous-espaces propres associés $E_{\lambda_1},\dots,E_{\lambda_p}$ sont en somme directe.
  • Corollaire : Des vecteurs propres associés à des valeurs propres distinctes forment toujours une famille libre.
  • Corollaire : Si $E$ est de dimension finie $n$, $u$ admet au plus $n$ valeurs propres.
  • La matrice $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$ définit un endomorphisme de $\mathbb K^n$ par $X\mapsto AX$.
  • On définit valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de $A$ comme les valeurs propres, vecteurs propres et espaces propres de l'endomorphisme de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$. En particulier, $X$ est un vecteur propre de $A$ pour la valeur propre $\lambda$ si et seulement si $AX=\lambda X$.
  • On dit que $A$ et $B$ sont semblables s'il existe $P\in GL_n(\mathbb K)$ tel que $A=PBP^{-1}$.
  • Proposition : Deux matrices semblables ont le même spectre.
Endomorphismes et matrices diagonalisables
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est diagonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est diagonale. Une telle base est donc constituée de vecteurs propres pour $u$.
  • Proposition : Un endomorphisme est diagonalisable si et seulement si la somme de ses sous-espaces propres est égale à $E$.
  • Corollaire : Un projecteur et une symétrie sont diagonalisables.
  • Théorème : $u$ est diagonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé et si, pour toute valeur propre $\lambda$, on a $\dim(E_\lambda)=\textrm{mult}(\lambda)$.
  • Corollaire : Un endomorphisme de $E$ admettant $n$ valeurs propres distinctes est diagonalisable.
  • On dit que $A$ est diagonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est diagonalisable.
  • Proposition : $A$ est diagonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice diagonale.
Endomorphismes et matrices trigonalisables
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est trigonalisable s'il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure.
  • Théorème : $u$ est trigonalisable si et seulement si $\chi_u$ est scindé. En particulier, si $\mathbb K=\mathbb C$, tout endomorphisme est trigonalisable.
  • On dit que $A$ est trigonalisable si l'endomorphisme canoniquement associé de $\mathbb K^n$ défini par $X\mapsto AX$ est trigonalisable.
  • Proposition : $A$ est trigonalisable si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure.
  • En particulier, si $A$ est trigonalisable, sa trace est égale à la somme de ses valeurs propres (chaque valeur propre étant répétée autant de fois que sa multiplicité) et son déterminant est égal au produit de ses valeurs propres (répétées là aussi autant de fois que leur multiplicité).
Endomorphismes nilpotents, matrices nilpotentes
$E$ est de dimension finie $n$, soit $u\in\mathcal L(E)$ et $A\in\mathcal M_n(\mathbb K)$.
  • On dit que $u$ est nilpotent s'il existe un entier $p$ tel que $u^p=0$. Le plus petit entier $p$ qui convient s'appelle l'indice de nilpotence de $u$.
  • Théorème : Les assertions suivantes sont équivalentes :
    • $u$ est nilpotent;
    • $\chi_u(X)=X^n$;
    • il existe une base de $E$ dans laquelle la matrice de $u$ est triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale.
  • Corollaire : L'indice de nilpotence de $u$ est majoré par $n$.
  • On dit que $A$ est nilpotente s'il existe $p\in\mathbb N$ tel que $A^p=0$.
  • Corollaire : $A$ est nilpotente si et seulement si $A$ est semblable à une matrice triangulaire supérieure avec des zéros sur la diagonale.