$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
Bibm@th

Résumé de cours : groupes

On trouvera ci-dessous les nouveautés du cours de Math Spé concernant les groupes. Il pourra être utile de réviser le programme de Math Sup.

Sous-groupe

Soit $(G,\star)$ un groupe. Une partie $H$ de $G$ est appelée un sous-groupe de $G$ si $H$ est stable par $\star$ et si $(H,\star)$ est lui-même un groupe.

Exemple : $(\mathbb Z,+)$ est un sous-groupe de $(\mathbb R,+),$ $(\mathbb U,\times)$ est un sous-groupe de $(\mathbb C,\times).$

Proposition (caractérisation des sous-groupes) : Une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
  • $H$ est non-vide;
  • $H$ est stable par passage au produit : pour tous $x,y\in H$, alors $x\star y\in H$;
  • $H$ est stable par passage à l'inverse : pour tout $x\in H$, alors $x^{-1}\in H$.
Proposition : Soit $(H_i)_{i\in I}$ une famille de sous-groupes de $G.$ Alors $\bigcap_{i\in I}H_i$ est un sous-groupe de $G.$

Soit $A$ une partie de $G$. Le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ est appelé le sous-groupe engendré par $A$. Si ce sous-groupe est $G$, on dit que $A$ est une partie génératrice de $G$. On dit que $x\in G$ est générateur de $G$ si $\{x\}$ est une partie génératrice de $G.$

Proposition : Le sous-groupe engendré par $A$ est l'intersection de tous les sous-groupes contenant $A$. Si $A\neq \varnothing$, alors ce sous-groupe est égal à $$\langle A\rangle=\{a_1^{\veps_1}\cdots a_p^{\varepsilon_p};\ p\in\mathbb N^*,\ a_i\in A,\ \veps_i=\pm 1\}.$$

En particulier, le sous-groupe engendré par $a\in G$ est $\{a^n:\ n\in\mathbb Z\}.$

Théorème : Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $n\mathbb Z$, $n\in\mathbb N$.
Le groupe $\mathbb Z/n\mathbb Z$

Soit $n\in\mathbb N^*$. La relation de congruence modulo $n$ est une relation d'équivalence sur $\mathbb Z$ : $k\equiv \ell\ [n]\iff k-\ell\in n\mathbb Z$. On note $\bar k$ la classe d'équivalence de $k$, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence pour cette relation.

Exemple : Dans $\mathbb Z/6\mathbb Z,$ on a $\bar 1=\overline{13}=\overline{-5}.$

En considérant le reste de la division euclidienne par $n,$ on constate que tout entier est toujours congru modulo $n$ à un entier compris entre $0$ et $n-1.$ On a en particulier $\mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline {n-1}\}$ et donc le cardinal de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est égal à $n.$

Théorème : On définit une addition sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$ en posant $$\bar k+\bar \ell=\overline{k+\ell}.$$ Dans ce cas, $(\mathbb Z/n\mathbb Z,+)$ est un groupe commutatif d'élément neutre $\bar 0.$ L'application $\psi:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$, $k\mapsto \bar k$ est alors un morphisme surjectif de groupes.
Exemple : Dans $\mathbb Z/7\mathbb Z,$ on a $$\bar 9+\bar 3=\overline{12}=\bar 5.$$
Théorème (générateurs de $\mathbb Z/n\mathbb Z$) : Soit $(k,n)\in\mathbb Z\times\mathbb N^*.$ Alors $\bar k$ est générateur de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ si et seulement si $k\wedge n=1.$
Groupe monogène, groupe cyclique

Soit $G$ un groupe. On dit que $G$ est monogène s'il existe $a\in G$ tel que le sous-groupe engendré par $a$ est égal à $G$. Autrement dit, s'il existe $a\in G$ tel que $G=\{a^n;\ n\in\mathbb Z\}$. $G$ est dit cyclique s'il est monogène et fini.

Exemple : $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe cyclique. De plus, $\bar k$ est un générateur de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ si et seulement si $k\wedge n=1$.

Théorème (structure des groupes monogènes) :
  • tout groupe monogène infini est isomorphe à $\mathbb Z$;
  • tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z$.

Exemple : Pour $n\geq 2,$ le groupe $\mathbb U_n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z.$

Ordre d'un élément dans un groupe

Soit $G$ un groupe d'élément neutre $e$. Un élément $a\in G$ est dit d'ordre fini s'il existe $n\geq 1$ tel que $a^n=e$. Le plus petit entier $n$ vérifiant cette égalité est alors appelé l'ordre de $a$.

Proposition : Un élément $a$ de $G$ est d'ordre fini si le sous-groupe engendré par $a$ est fini. Dans ce cas, le cardinal de ce sous-groupe est égal à l'ordre de $a.$
Proposition : Soit $a\in G$ d'ordre $n$. Alors $a^k=e$ si et seulement si $n|k$.
Proposition : L'ordre d'un élément dans un groupe divise l'ordre du groupe.