Résumé de cours : groupes

Structure de groupes

On appelle groupe la donnée d'un ensemble $G$ et d'une loi de composition interne $\star$ sur $G$ vérifiant les 3 propriétés suivantes :
1. la loi $\star$ est associative : pour tous $x,y,z\in G$, $x\star(y\star z)=(x\star y)\star z$;
2. il existe un élément $e\in G$ tel que, pour tout $x\in G$, $e\star x=x\star e=x$; $e$ s'appelle l'élément neutre de $G$;
3. pour tout $x\in G$, il existe $y\in G$ tel que $x\star y=y\star x=e$; $y$ s'appelle l'inverse de $x$ et est noté $x^{-1}$.
L'élément neutre du groupe et l'inverse d'un élément $x$ sont uniques.
Si $G$ et $H$ sont deux groupes, on munit $G\times H$ d'une structure de groupe en posant $(g,h)\star (g',h')=(g\star g',h\star h')$.

Sous-groupe

Soit $(G,\star)$ un groupe.

une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ s'il est stable par $\star$ et si $(H,\star)$ est lui-même un groupe.
Proposition (caractérisation des sous-groupes) : Une partie $H$ de $G$ est un sous-groupe de $G$ si et seulement si :
- $H$ est non-vide;
- $H$ est stable par passage au produit : pour tous $x,y\in H$, alors $x\star y\in H$;
- $H$ est stable par passage à l'inverse : pour tout $x\in H$, alors $x^{-1}\in H$.
Proposition : l'intersection de deux sous-groupes est un sous-groupe.
Soit $A$ une partie de $G$. Le plus petit sous-groupe de $G$ contenant $A$ est appelé le sous-groupe engendré par $A$. Si ce sous-groupe est $G$, on dit que $A$ est une partie génératrice de $G$.
Proposition : Le sous-groupe engendré par $A$ est l'intersection de tous les sous-groupes contenant $A$. Si $A\neq \varnothing$, alors ce sous-groupe est égal à $$\langle A\rangle=\{a_1^{\veps_1}\cdots a_p^{\varepsilon_p};\ p\in\mathbb N^*,\ a_i\in A,\ \veps_i=\pm 1\}.$$
Théorème : Les sous-groupes de $(\mathbb Z,+)$ sont les $n\mathbb Z$, $n\in\mathbb N$.

Morphisme de groupes

Soient $G$ et $H$ deux groupes.

Une application $f:G\to H$ est un morphisme de groupe si pour tous $x,y\in G$, on a $f(x\star y)=f(x)\star f(y)$.
Proposition : Soit $f:G\to H$ un morphisme de groupes. Alors :
- l'image directe d'un sous-groupe de $G$ est un sous-groupe de $H$;
- l'image réciproque d'un sous-groupe de $H$ est un sous-groupe de $G$;
- $f(e_G)=e_H$.
On appelle noyau du morphisme $f:G\to H$ le sous-groupe de $G$ $$\ker(f)=f^{-1}(e_H)=\{x\in G;\ f(x)=e_H\}.$$
On appelle image du morphisme $f:G\to H$ le sous-groupe de $H$ $$\textrm{Im}(f)=f(G)=\{f(x);\ x\in G\}.$$
Proposition : Un morphisme de groupes $f:G\to H$ est
- injectif si et seulement si $\ker(f)=\{e_G\}$;
- surjectif si et seulement si $\textrm{Im}(f)=H$.
On dit que le morphisme $f:G\to H$ est un isomorphisme si $f$ est bijective.
Proposition : Soit $f:G\to H$ un isomorphisme de groupes. Alors $f^{-1}$ est un morphisme de $H$ sur $G$.

Groupe monogène, groupe cyclique

Soit $G$ un groupe.

On dit que $G$ est monogène s'il existe $a\in G$ tel que le sous-groupe engendré par $a$ est égal à $G$. Autrement dit, s'il existe $a\in G$ tel que $G=\{a^n;\ n\in\mathbb Z\}$. $G$ est dit cyclique s'il est monogène et fini.
Soit $n\geq 2$. La relation "être congru modulo $n$" est une relation d'équivalence. On note $\bar a$ la classe d'équivalence de $a$, et $\mathbb Z/n\mathbb Z$ l'ensemble des classes d'équivalence : $\mathbb Z/n\mathbb Z=\{\bar 0,\bar 1,\dots,\overline{n-1}\}$. On définit une structure de groupe sur $\mathbb Z/n\mathbb Z$ en posant $$\bar a+\bar b=\overline{a+b}.$$ L'application $\psi:\mathbb Z\to\mathbb Z/n\mathbb Z$, $a\mapsto \bar a$ est alors un morphisme surjectif de groupes.
Théorème : $\mathbb Z/n\mathbb Z$ est un groupe cyclique. De plus, $\bar k$ est un générateur de $\mathbb Z/n\mathbb Z$ si et seulement si $k\wedge n=1$.
Théorème :
- tout groupe monogène infini est isomorphe à $\mathbb Z$;
- tout groupe monogène fini de cardinal $n$ est isomorphe à $\mathbb Z/n\mathbb Z$.

Ordre d'un élément dans un groupe

Soit $G$ un groupe d'élément neutre $e$.

Un élément $a\in G$ est dit d'ordre fini s'il existe $n\geq 1$ tel que $a^n=e$. Le plus petit entier $n$ vérifiant cette égalité est alors appelé l'ordre de $a$.
Proposition : Soit $a\in G$ d'ordre $n$. Alors $a^k=e$ si et seulement si $n|k$.
Proposition : L'ordre d'un élément dans un groupe divise l'ordre du groupe.