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Résumé de cours : Fonctions définies par une intégrale

$\mathbb K$ désigne le corps $\mathbb R$ ou $\mathbb C$ et $I$ un intervalle.

Passage à la limite sous l'intégrale

Théorème de convergence dominée : Soit $(f_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f,\varphi:I\to\mathbb K$ continues par morceaux avec $\varphi$ positive. On suppose que
- pour tout $t\in I$, $(f_n(t))$ converge vers $f(t)$;
- pour tout $t\in I$ et tout $n\geq 1$, $|f_n(t)|\leq \varphi(t)$;
- la fonction $\varphi$ est intégrable sur $I$.
Alors toutes les fonctions $f_n$ et $f$ sont intégrables sur $I$, et on a $$\lim_{n\to+\infty}\int_I f_n=\int_I f.$$
Théorème d'intégration terme à terme : Soit $(u_n)$ une suite de fonctions continues par morceaux de $I$ dans $\mathbb K$, et $f:I\to\mathbb K$ continue par morceaux. On suppose que
- pour tout $t\in I$, la série $\sum_{n\geq 1}u_n(t)$ converge vers $f(t)$;
- la série $\sum_{n\geq 1}\int_I |u_n(t)|dt$ est convergente.
Alors $f$ est intégrable sur $I$, et on a $$\sum_{n\geq 1}\int_I u_n=\int_I f.$$

Régularité d'une intégrale à paramètres

Théorème de continuité des intégrales à paramètres : Soit $A$ une partie d'un espace normé de dimension finie, $I$ un intervalle de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $A\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
- pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto f(x,t)$ est continue sur $A$;
- pour tout $x\in A$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
- il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in A$ et tout $t\in I$, $$|f(x,t)|\leq g(t).$$
Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est continue sur $A$.
Théorème de dérivabilité des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$ et $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$. On suppose que
- pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto f(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
- $f$ admet une dérivée partielle $\frac{\partial f}{\partial x}$ définie sur $J\times I$;
- pour tout $x\in J$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$;
- pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)$ est continue sur $J$;
- il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial f}{\partial x}(x,t)\right|\leq g(t).$$
Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^1$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$, $F'(x)=\int_I \frac{\partial f}{\partial x}(x,t)dt$.
Classe $\mathcal C^k$ des intégrales à paramètres : Soit $I,J$ deux intervalles de $\mathbb R$, $f$ une fonction définie sur $J\times I$ à valeurs dans $\mathbb K$ et $k\geq 1$. On suppose que
- $f$ admet des dérivées partielles par rapport à la première variable $\frac{\partial^j f}{\partial x^j}$ définies sur $J\times I$ pour tout $j\leq k$;
- pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, la fonction $t\mapsto \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)$ est continue par morceaux sur $I$ et intégrable sur $I$;
- pour tout $t\in I$, la fonction $x\mapsto \frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)$ est continue sur $J$;
- il existe $g:I\to\mathbb R_+$ continue par morceaux et intégrable telle que, pour tout $x\in J$ et tout $t\in I$, $$\left|\frac{\partial^k f}{\partial x^k}(x,t)\right|\leq g(t).$$
Alors la fonction $F:x\mapsto \int_I f(x,t)dt$ est de classe $\mathcal C^k$ sur $J$ et, pour tout $x\in J$ et tout $0\leq j\leq k$, $$F^{(j)}(x)=\int_I \frac{\partial^j f}{\partial x^j}(x,t)dt.$$