$$\newcommand{\mtn}{\mathbb{N}}\newcommand{\mtns}{\mathbb{N}^*}\newcommand{\mtz}{\mathbb{Z}}\newcommand{\mtr}{\mathbb{R}}\newcommand{\mtk}{\mathbb{K}}\newcommand{\mtq}{\mathbb{Q}}\newcommand{\mtc}{\mathbb{C}}\newcommand{\mch}{\mathcal{H}}\newcommand{\mcp}{\mathcal{P}}\newcommand{\mcb}{\mathcal{B}}\newcommand{\mcl}{\mathcal{L}} \newcommand{\mcm}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcc}{\mathcal{C}} \newcommand{\mcmn}{\mathcal{M}}\newcommand{\mcmnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)} \newcommand{\mcmnk}{\mathcal{M}_n(\mtk)}\newcommand{\mcsn}{\mathcal{S}_n} \newcommand{\mcs}{\mathcal{S}}\newcommand{\mcd}{\mathcal{D}} \newcommand{\mcsns}{\mathcal{S}_n^{++}}\newcommand{\glnk}{GL_n(\mtk)} \newcommand{\mnr}{\mathcal{M}_n(\mtr)}\DeclareMathOperator{\ch}{ch} \DeclareMathOperator{\sh}{sh}\DeclareMathOperator{\th}{th} \DeclareMathOperator{\vect}{vect}\DeclareMathOperator{\card}{card} \DeclareMathOperator{\comat}{comat}\DeclareMathOperator{\imv}{Im} \DeclareMathOperator{\rang}{rg}\DeclareMathOperator{\Fr}{Fr} \DeclareMathOperator{\diam}{diam}\DeclareMathOperator{\supp}{supp} \newcommand{\veps}{\varepsilon}\newcommand{\mcu}{\mathcal{U}} \newcommand{\mcun}{\mcu_n}\newcommand{\dis}{\displaystyle} \newcommand{\croouv}{[\![}\newcommand{\crofer}{]\!]} \newcommand{\rab}{\mathcal{R}(a,b)}\newcommand{\pss}[2]{\langle #1,#2\rangle} $$
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Résumé de cours : espaces vectoriels normés

$E$ désigne un espace vectoriel sur le corps $\mathbb K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$.
Normes
  • Une application $\|\cdot\|:E\to\mathbb R_+$ est appelée une norme si elle vérifie les trois propriétés suivantes :
    1. Pour tout $x\in E$, $\|x\|=0\iff x=0$.
    2. Pour tout $x\in E$ et tout $\lambda\in\mathbb K$, $\|\lambda x\|=|\lambda|\|x\|$ (homogénéité).
    3. Pour tous $x,y\in E$, $\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|$ (inégalité triangulaire).
    On dit alors que $(E,\|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé.
  • Si $(E,\|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé, l'application $d:E\times E\to\mathbb R_+$ définie par $d(x,y)=\|x-y\|$ est appelée distance associée à la norme $\|\cdot\|$ sur $E$. Elle vérifie les propriétés suivantes :
    1. $\forall (x,y)\in E^2$, $d(x,y)=0\iff x=y$.
    2. $\forall (x,y)\in E^2$, $d(x,y)=d(y,x)$.
    3. $\forall (x,y,z)\in E^3$, $d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)$.
  • Si $(E,\|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé, on appelle
    • boule ouverte de centre $a\in E$ et de rayon $r\geq 0$ l'ensemble $$B(a,r)=\{x\in E;\ \|x-a\|< r\}.$$
    • boule fermée de centre $a\in E$ et de rayon $r\geq 0$ l'ensemble $$\bar B(a,r)=\{x\in E;\ \|x-a\|\leq r\}.$$
    • sphère de centre $a\in E$ et de rayon $r\geq 0$ l'ensemble $$S(a,r)=\{x\in E;\ \|x-a\|=r\}.$$
  • Proposition : Les boules d'un espace vectoriel normé sont convexes : si $a\in E$ et $r\geq 0$, $$\forall (x,y)\in B(a,r),\ \forall \lambda\in [0,1],\ \lambda x+(1-\lambda)y\in B(a,r).$$
  • Une partie $A$ de l'espace vectoriel normé $E$ est dite bornée s'il existe $M\geq 0$ tel que, pour tout $x\in A$, $\|x\|\leq M$.
  • Une fonction $f:X\to E$ est dite bornée si son image $f(X)$ est bornée dans $(E,\|\cdot\|)$.
  • Si $(E_1,N_1),\dots,(E_p,N_p)$ sont $p$ espaces vectoriels normés, on peut définir une norme sur $E_1\times\dots\times E_p$ en posant $$N\big((x_1,\dots,x_p)\big)=\max\big(N_1(x_1),\dots,N_p(x_p)\big).$$ On l'appelle la norme produit
Suites d'un espace vectoriel normé
$(E,\|\cdot\|)$ est un espace vectoriel normé.
  • Une suite $(u_n)$ de $(E,\|\cdot\|)$ est dite bornée s'il existe un réel $M>0$ tel que, pour tout $n\in \mathbb N$, $\|u_n\|\leq M$.
  • Une suite $(u_n)$ de $(E,\|\cdot\|)$ est dite convergente vers $\ell\in E$ si $$\forall \veps>0,\ \exists N\in \mathbb N,\ \forall n\geq N,\ \|u_n-\ell\|\leq\veps.$$ Une suite qui n'est convergente vers aucun $\ell\in E$ est dite divergente.
  • Théorème : Si $(u_n)$ est une suite convergente vers $\ell$ et vers $\ell'$, alors $\ell=\ell'$. On appelle cet élément de $E$ la limite de la suite $(u_n)$.
  • Proposition : Toute suite convergente est bornée.
  • Proposition : Si $(u_n)$ et $(v_n)$ sont deux suites de $E$ convergeant respectivement vers $\ell$ et vers $\ell'$, alors pour tous $\alpha,\beta\in\mathbb K^2$, $(\alpha u_n+\beta v_n)$ converge vers $\alpha \ell+\beta\ell'$.
  • Proposition : Soient $(E_1,N_1),\dots,(E_p,N_p)$ des espaces vectoriels normés et soit $N$ la norme produit sur $E=E_1\times\dots\times E_p$. Soit $(u_n)=(u_n(1),\dots,u_n( p))$ une suite de $E$. Alors $(u_n)$ converge dans $E$ pour la norme $N$ si et seulement si, pour chaque $i=1,\dots,p$, $(u_n(i))$ converge dans $E_i$ pour la norme $N_i$.
  • Soit $(u_n)$ une suite de $E$ et soit $\phi:\mathbb N\to\mathbb N$ strictement croissante. La suite $(u_{\phi(n)})$ s'appelle suite extraite de $(u_n)$.
  • Proposition : Soit $(u_n)$ une suite de $E$.
    • toute suite extraite d'une suite extraite de $(u_n)$ est une suite extraite de $(u_n)$.
    • si $(u_n)$ converge vers $\ell$, toute suite extraite de $(u_n)$ converge vers $\ell$.
    • si $(u_n)$ admet une suite extraite $(u_{\phi(n)})$ qui converge vers $\ell_1$ et une suite extraite $(u_{\psi(n)})$ qui converge vers $\ell_2$ avec $\ell_1\neq \ell_2$, alors $(u_n)$ est divergente.
    • si $(u_{2n})$ et $(u_{2n+1})$ convergent vers le même $\ell\in E$, alors $(u_n)$ converge vers $\ell$.
  • On dit que $\ell$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ s'il existe une suite extraite de $(u_n)$ qui converge vers $\ell$.
  • Corollaire : Si $(u_n)$ admet deux valeurs d'adhérence distinctes, alors $(u_n)$ est divergente.
  • Théorème : $\ell$ est une valeur d'adhérence de la suite $(u_n)$ si et seulement si, pour tout $\veps>0$, pour tout $N\in\mathbb N$, il existe $n\geq N$ tel que $\|u_n-\ell\|<\veps$.
Normes équivalentes
  • Deux normes $N_1$ et $N_2$ sur $E$ sont appelées normes équivalentes s'il existe deux constantes $a,b>0$ telles que, pour tout $x\in E$, $$aN_1(x)\leq N_2(x)\leq b N_1(x).$$
  • Théorème : Si $N_1$ et $N_2$ sont deux normes équivalentes sur $E$, une suite est convergente (resp. bornée) dans $(E,N_1)$ si et seulement si elle est convergente (resp. bornée) dans $(E,N_2)$.